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第四节 对面积的曲面积分,Chapter 11,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,26 - 2,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,求质,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两,最大值,点间距离的最大者).,26 - 3,1.定义,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,26 - 4,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,1.定义,26 - 5,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,26 - 6,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,26 - 7,而,( 光滑),证明: 由定义知,26 - 8,则,则,则,类似也有:,26 - 9,例1. 计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,26 - 10,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,26 - 11,例2. 计算,其中 是由平面,三个坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,26 - 12,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,26 - 13,例3.,设,计算,解:,26 - 14,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),26 - 15,思考与练习,P219 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P219 题1.,P219 题3.,设,则,P246 题2,26 - 16,P219 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,26 - 17,P220 题7.,如图所示, 有,26 - 18,P246 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),26 - 19,作业,P219 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,26 - 20,备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解: 在 xOy 面上的
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