高中数学2.2.3直线与平面平行的性质.ppt

2.2.3 直线与平面平行的性质,1.掌握直线与平面平行的性质定理. 2.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 3.通过线线平行与线面平行的转化,培养学生的学习兴趣.,直线与平面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行.简述为“若线面平行, 则_”. (2)符号语言：,线线平行,a _ _,ab,=b,(3)图形语言：,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”). (1)如果直线a,b和平面满足ab,a,b,那么b.( ) (2)如果m,n,m,n共面,那么mn.( ) (3)如果m,n,m,n共面,那么mn.( ),提示：(1)正确.由ab,a,直线b与平面平行或者在平面内,又b,则b. (2)正确.利用直线与平面平行的性质定理可得. (3)错误.m,n可以是同一个平面内的相交直线. 答案：(1) (2) (3),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)直线a与平面平行,则在平面内有 条直线和直线a平行.,(2)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,和EF平行的面是 . (3)直线a,b都与平面平行,则a,b的位置关系是 .,【解析】(1)直线a与平面平行,过直线a可作无数个平面和平面相交,直线a与交线平行,故有无数条直线和直线a平行. (2)若连接BA1,则EF是BA1C1的中位线,故EF平面A1B1C1D1,同理EF平面ABCD,和其他平面都不平行. (3)a,b的位置关系可以是平行、相交或异面. 答案：(1)无数 (2)平面A1B1C1D1,平面ABCD (3)平行、相交或异面,直线与平面平行的性质定理 根据直线与平面平行的性质定理及符号表示 和图形表示探究以下问题,探究1：如果一条直线与平面平行,那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行?这条直线与这个平面内多少直线平行? 提示：如果一条直线与平面平行,这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内有无数条直线与这条直线平行.,探究2：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个 平面内的直线有哪些位置关系？ 提示：由直线与平面平行的定义可知， 如果一条直线a与平面平行，那么a 与平面无公共点，即a上的点都不在 平面内，平面内的任何直线与a都无公共点，这样， 平面内的直线与平面外的直线a只能是异面直线或平行 直线.,探究提示：从直线与平面没有公共点考虑.,探究3：如果一条直线a与平面平行，在什么条件下直线a与平面内的直线平行？ 提示：由于直线a与平面内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面相交，则直线a就平行于这条交线.,探究4：怎样利用性质定理画一条与已知直线平行的直线？ 提示：如果已知直线平行于一个平 面，要想在该平面内画一条与已知 直线平行的直线，只需要过已知直 线作一个与已知平面相交的平面， 那么交线就是要画的与已知直线平行的直线.,探究提示：利用性质定理确定一个过此直线的平面即可.,【拓展延伸】线面平行的其他性质 (1)平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面. (2)直线和平面平行，平面内有无数条直线和该直线平行，但不一定与平面内任意一条直线平行.,【探究提升】对直线与平面平行的性质定理的理解 (1)该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若线面平行,则线线平行”. (2)用该定理判断直线a与b平行时,必须具备三个条件： 直线a和平面平行,即a; 平面和相交,即=b; 直线a在平面内,即a.以上三个条件缺一不可. (3)在应用这个定理时,要防止出现“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线”的错误.,类型 一 对直线与平面平行的性质定理的理解 试着完成下列各题,总结线面平行的性质定理的实质、作用及应用时的注意点. 1.下列判断正确的是( ) A.a,b,则ab B.a=P,b,则a与b不平行 C.a,则a D.a,b,则ab,2.求证：如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线平行.,【解题指南】1.利用直线与平面的位置关系考虑线线、线面是否平行. 2.(1)用数学符号语言描述上述命题,写出已知和求证. (2)用图形语言描述上述命题,即画出相应图形. (3)综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题.,【解析】1.选B.对于A,直线a,b可能平行也可能异面;a=P, b,则a与b相交或异面,故不平行,B正确;对于C,直线a可能和平面相交;对于D,直线a,b不一定平行.,2.已知：a,a,=l,求证：al. 证明：如图,过a作平面,使得=c,=d,那么有,【技法点拨】线面平行的性质定理的实质、作用及应用时的注意点 (1)实质：线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,定理内容揭示了“直线与平面平行之后它们具有什么样的性质”. (2)作用：证明直线与直线平行的一种方法. (3)注意点：在应用定理时要避免出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误认识.,类型 二 线面平行的性质定理的简单应用 尝试完成下列试题,体会性质定理的应用,并归纳应用定理证明线线平行的步骤. 1.直线a,b,c及平面,使ab成立的条件是( ) A.a,b B.a,b C.ac,bc D.a,=b,2.如图,E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,AD的中点,平面过EH分别交BC,CD于F,G.求证：EHFG.,【解题指南】1.考虑是否满足线面平行的性质定理,可以排除A,B,D. 2.先证明EH平面BCD,再利用直线与平面平行的性质定理推出线线平行.,【解析】1.选C.a,b,则ab或a,b异面,所以A错误;a,b,则ab或a,b异面或a,b相交,所以B错误;a,=b,则ab或a,b异面,所以D错误;ac,bc,则ab,这是公理4,所以C正确. 2.因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EHBD. 又BD平面BCD,EH平面BCD,所以EH平面BCD. 又EH,平面BCD=FG,所以EHFG.,【互动探究】题2中若已知EFGH是平行四边形,如何证明：BD平面EFGH,AC平面EFGH.,【证明】因为EFGH是平行四边形 同理可证AC平面EFGH.,【技法点拨】利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤 (1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面. (2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面. (3)得出交线. (4)根据线面平行的性质定理得出结论.,类型 三 线面平行的判定定理与性质定理的综合应用 试着完成下列各题,总结应用线面平行判定和性质定理的 应用方法. 1.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长 都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点 的平面与SB交于点F,则四边形DEFC 的周长为( ) A.2+ B.3+ C.3+2 D.2+2,2.如图,三棱柱ABC-ABC中,D是BC上一点,且满足AB平面ACD,则D是BC的 .,【解题指南】1.根据线面平行的判定定理得到CD平面SAB,再根据线面平行的性质定理得到平行关系,进而得到线段EF,FC的长,可求四边形DEFC的周长. 2.利用线面平行的性质定理,得出平面ABC与平面ACD的交线与AB平行,进而利用中位线性质,得出D是BC的中点.,【解析】1.选C.因为AB=BC=CD=AD=2, 所以四边形ABCD为菱形,所以CDAB. 又CD平面SAB,AB平面SAB, 所以CD平面SAB. 又CD平面CDEF, 平面CDEF平面SAB=EF, 所以CDEF.所以EFAB. 又因为E为SA的中点,所以EF= AB=1.,又因为SAD和SBC都是等边三角形, 所以DE=CF=2sin60= , 所以四边形DEFC的周长为 CD+DE+EF+FC=2+ +1+ =3+2 .,2.连接AC交AC于E,连接DE,在平行四边形AACC中, AC与AC互相平分. 所以AE=EC. 又因为AB平面ACD, 平面ABC平面ACD=DE, 所以ABDE. 在ABC中,AE=EC,ABDE, 所以BD=DC,所以D是BC的中点. 答案：中点,【技法点拨】利用线面平行的判定定理和性质定理的关注点 (1)利用性质定理证明的关键是过直线作平面与已知平面相交. (2)证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路. (3)若题目中含有线线平行的条件,可考虑线面平行的判定定理的条件;若含有线面平行的条件,可考虑线面平行的性质定理得线线平行.,【变式训练】如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,点PBB(不与B,B重合).PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面BAC.,【证明】连接AC,AC,BA,BC, 因为ABCD-ABCD是长方体,所以ACAC. 又AC平面BAC,AC平面BAC, 所以AC平面BAC. 又因为平面PAC过AC与平面BAC交于MN, 所以MNAC. 因为MN平面BAC,所以MN平面BAC.,1.对于直线m,n和平面,下面说法中正确的是( ) A.如果m,n,m,n是异面直线,那么n B.如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交 C.如果m,n,m,n共面,那么mn D.如果m,n,m,n共面,那么mn 【解析】选C.如果m,n,m,n共面,根据线面平行的性质定理,则mn,故选项C正确.在选项A中,n与可能相交.在选项B中,n与可能平行.在选项D中,m与n可能相交.,2.直线ab,且a与平面相交,那么b与平面的关系是( ) A.必相交 B.可能平行 C.相交或平行 D.相交或在平面内 【解析】选A.两条平行线,其中一条与平面相交,另一条也与平面相交.,3.下列结论中,正确的个数是( ) (1)若直线l上有无数个点不在平面内,则l. (2)若直线l平行于平面内的无数条直线,则l. (3)若直线l与平面平行,则l与平面内的任一直线平行. (4)若直线l在平面外,则l. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,【解析】选A.(1)直线l上有无数个点不在平面内,并没有说是所有点都不在平面内,因而直线可能与平面平行,亦有可能与平面相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.(2)直线l虽与内无数条直线平行,但l有可能在平面内,所以直线l不一定平行于.(3)当l时,若m且ml,则在平面内,除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线.(4)直线l在平面外,应包括两种情况：l和l与相交,所以l与不一定平行.故选A.,4.已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列结论中正确的是( ) A.m,mnn B.m,nmn C.m,m,=nmn D.m,nmn 【解析】选C.A中,n还有可能在平面内;B中m,n可能相交、平行、异面;由线面平行的性质定理可得C正确.D中m,n可能异面.,5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的 平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的关 系是 (“异面”“平行”或