2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1第2课时类比推理学案苏教版.docx

第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案类比推理梳理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法(2)类比推理的思维过程大致如图(3)特征：由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案不一定正确梳理(1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理(2)合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的()2合情推理必须有前提有结论()3类比推理不能猜想()类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*)：等差数列等比数列定义anan1d(n2)anan1q(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn(nN*)是等比数列，且cn0，则有数列dn_(nN*)也是等比数列答案解析数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列类比猜想：若数列cn(nN*)是各项均为正数的等比数列，则当dn(nN*)时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1(ab)a(ab)aab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”以上类比得到的正确结论的序号是_答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是_(填序号)三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为_答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为S(abc)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_答案(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以V(S1S2S3S4)r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.一、填空题1下列几种推理是类比推理的是_(填序号)内错角相等，两直线平行；由平面三角形的性质，猜想空间四面体的性质；由数列的前几项，猜想数列的通项公式答案解析由类比推理的定义，得只有为类比推理2“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r”对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R_.答案解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R.3已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形面积公式S扇_.考点类比推理的应用题点平面曲线的类比答案解析扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇.4已知tan且tanx是以为周期的周期函数若a0，且f(xa)，通过类比，f(x)是以_为周期的周期函数答案4a(答案不唯一)解析类比tan与f(xa)可知，与a对应而tanx是以4为周期的周期函数，所以猜想f(x)应是以T4a为周期的周期函数事实上f(x2a).所以f(x4a)f(x)故此类比猜想正确5已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1(ab0)类比的性质为_.答案经过椭圆1(ab0)上一点M(x0，y0)的切线方程为1解析已知圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程，就是将圆的方程中的一个x与y分别用点M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换的结果经类比猜想，即可得椭圆1(ab0)类似的性质为：经过椭圆1(ab0)上一点M(x0，y0)的切线方程为1.6类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a1e12e2.”试写出空间向量基本定理：_.答案如果e1，e2，e3是空间中不共面的向量，那么对空间中的任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a1e12e23e37已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_答案正四面体的内切球的半径是高的解析原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积Sah3arrh.类比，用等体积法，VSh4rSrh.8半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.答案4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现4R2，从而使问题解决9在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC的面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_答案解析平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成，故有.10由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：_.答案解析设点A，D到平面PBC的距离分别为h1，h2，则且VPABCSPBCh1，VPDEFSPEFh2，所以11下列类比推理中正确的个数是_(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；logm(xy)logmxlogmy与sin(ab)类比，则有sin(ab)sinab；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.答案1解析对于，令ab1，n2，则(ab)n4，anbn2，(ab)nanbn，故错误；对于，令a0，b30，则sin(ab)，sinab0，sin(ab)sinab，故错误；对于，由平面向量的知识可知，显然正确二、解答题12已知：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项anam(nm)d.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，则amanapat.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则aman2ap.类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质解设等比数列bn中，公比为q，前n项和为Tn.(1)通项bnbmqnm.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，则bmbnbpbt.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则bbmbn.13已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn.现已知等比数列bn，类比等差数列，写出相似的性质解等差数列的通项an与项数n是一次函数关系，等比数列的通项bn与项数n是指数型函数关系利用类比可得bmn.三、探究与拓展14若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案数列为等比数列，且通项为b1()n1解