2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.4几何问题的代数解法学案湘教版.docx

74几何问题的代数解法学习目标1理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题2进一步掌握用解析法处理平面几何问题预习导引1解决几何问题的基本方法解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法2用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答要点一用解析法证明几何问题例1ABD和BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|CD|.证明如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系设ABD和BCE的边长分别为a，c，则A(a，0)，E(，c)，C(c，0)，D(，a)，于是|AE|.|CD|.所以|AE|CD|.规律方法坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪演练1在ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|，求证：ABC为等腰三角形证明如图，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由两点间的距离公式，得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)，又db0，故bdcd，即bc.所以ABC为等腰三角形要点二代数问题的几何解法例2求函数y的值域解显然函数的定义域为R，y.设P(x，0)，A(，)，B(，)为平面上三点，则|PA|，|PB|.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1yr，直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响规律方法先以台风中心为原点建立适当的坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示，然后把此实际问题转化为数学问题来解决跟踪演练3有弱、强两个喇叭在A，O两处，若它们的强度之比为14，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？(假设声音强度与距离的平方成反比)解以直线OA为x轴，O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系则O(0，0)，A(60，0)设在P(x，y)处听到O，A两处的喇叭声音强度相等由题设知，即，整理，得(x20)2y2402.故P点的轨迹是以(20，0)为圆心，40为半径的圆，也就是在此圆周上听到的声音强度相等.1过点A(1，4)作圆(x2)2(y3)21的切线，则A到切点的距离为()A. B3 C. D5答案B解析设圆心C(2，3)，则|AC|，点A到切点的距离即切线长l3.2圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最小值是()A6 B4 C5 D1答案B解析圆心到直线3x4y250的距离为5.则圆上的点到直线3x4y250的距离的最小值为514.3已知圆x2y22x4y40关于直线y2xb成轴对称，则b_.答案4解析已知圆的圆心为(1，2)，且点(1，2)在直线y2xb上，则22b，b4.4若点P(x，y)在圆C：(x2)2y23上，则的最大值是_答案解析半径长|PC|，|OC|2，是圆上的点与原点连线的斜率当OP与圆上方相切时，此时斜率最大，则POC60，tan POC.5点P在圆O：x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则|PQ|的最小值为_答案1解析如下图设连心线OC与圆O交于点P，与圆C交于点Q，当点P在P处，点Q在Q处时|PQ|最小，最小值为|PQ|OC|r1r21.1利用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解2利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标很多实际问题也可采用这种方法转化一、基础达标1已知ABC的三个顶点是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析|AB|，|BC|3，|AC|，|AB|AC|，ABC为等腰三角形2方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆 C两条射线 D半个圆答案D解析由y得x2y225.y0, 曲线表示半个圆3点M，N在x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的半径为()A2 B. C1 D3答案D解析由M，N两点关于直线xy10对称，可知直线xy10过圆心(，1)，k4，圆的方程即为(x2)2(y1)29，r3.4点P是直线2xy100上的动点，直线PA，PB分别与圆x2y24相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()A24 B16 C8 D4答案C解析四边形PAOB的面积S2|PA|OA|22，当直线OP垂直直线2xy100时，|OP|min2.此时，四边形PAOB的面积的最小值为28.5已知直线x2y30与圆(x2)2(y3)29相交于E，F两点，圆心为C，则CEF的面积为_答案2解析圆心(2，3)到直线x2y30的距离为d，|EF|224，SCEF42.6已知xy10，那么的最小值是_答案2解析表示点P(x，y)和点(2，3)的距离，则的最小值为点(2，3)到直线xy10的距离d2.7有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地距离10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点解如图，以A，B所确定的直线为x轴，线段AB中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(5，0)，B(5，0)，设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，则价格xA地运费价格xB地运费，3aa.a0，3.化简为(x)2y2()2.以点C为圆心，为半径的圆是这两条购货区域的分界线圆C内的居民，从A地购货便宜，圆C外的居民，从B地购货便宜，圆C上的居民，从A，B两地购货的总费用相等，因此可随便从A，B两地之一购货二、能力提升8台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心不超过30 km地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h答案B解析如图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，B城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为yx，它与圆B的相交弦为MN，则可求得|MN|220 (km)，1 (h)，所以B城市位于危险区内的时间为1 h.9一束光线从点A(1，1)出发经x轴反射到圆(x2)2(y3)21上的最短距离为_答案4解析A关于x轴的对称点为A(1，1)，A与圆心的距离为5，故所求最短距离为514.10两圆相交于两点(1，3)和(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上，则mc的值为_答案3解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则1，得m5，弦中点坐标为(3，1)，31c0，得c2，mc3.11已知x，y满足x2y22x4y0，求x2y的最大值解设x2yb，则点(x，y)既在直线x2yb上，又在圆x2y22x4y0上，即直线x2yb和圆(x1)2(y2)25有公共点，故圆心(1，2)到x2yb0的距离小于或等于半径，所以，即|b5|5，所以0b10，即x2y的最大值是10.三、探究与创新12若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0(b0)的距离为2，求直线l斜率的取值范围解圆x2y24x4y100可整理为(x2)2(y2)2(3)2，圆心坐标为C(2，2)，半径为r3.要使圆上至少有三个不同的点到直线l：axby0的距离为2，则圆心到直线的距离d满足d，()24()10，22.k，2k2，直线axby0的斜率范围是2，213已知点P(x，y)在圆x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值与最小值；(3)求xy的最大值与最小值解圆x2y26x6y140变形为(x3)2(y3)24，故圆心为C(3，3)，半径r2.如图所示(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得2，解得k，所以，的最大值为，最小值为.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点P到E(1，0)的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点