2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.3.2圆的一般方程学案湘教版.docx

73.2圆的一般方程学习目标1正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径2会在不同条件下求圆的一般式方程知识链接1圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r2点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断预习导引1圆的一般方程的定义(1)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为(2)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点(3)当D2E24F0)则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F0点M在圆上xyDx0Ey0F0点M在圆内xyDx0Ey0F0.也可将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆跟踪演练1如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_答案解析由题意可知(2)2124k0，即k.要点二求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径解法一设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.圆心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二设ABC的外接圆方程为(xa)2(yb)2r2，A，B，C在圆上，解得即外接圆的圆心为(1，1)，半径为5，圆的标准方程为(x1)2(y1)225，展开易得其一般方程为x2y22x2y230.法三kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形圆心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.展开得一般方程为x2y22x2y230.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪演练2已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求ABC的外接圆的方程解设ABC的外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.要点三求动点的轨迹方程例3等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解设另一端点C的坐标为(x，y)依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如上图所示，因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)又因为点B，C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3，5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，1)两点规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程跟踪演练3已知直角ABC的两个顶点A(1，0)和B(3，0)，求：直角顶点C的轨迹方程解法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)答案D解析2，3，圆心坐标是(2，3)2方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为()Ak BkCk Dk0k4F)表示的曲线关于直线yx对称，那么必有()ADE BDFCEF DDEF答案A解析方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线yx对称，所以圆心在直线yx上，即点在直线yx上，所以DE.故选A.4已知两点A(2，0)，B(0，2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC的面积的最小值是()A3 B3C3 D.答案A解析直线AB的方程为xy20，由圆的方程得圆心坐标为(1，0)，半径为1，故圆心到直线AB的距离为d，所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为1，SABC的最小值|AB|23.5已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为_答案(2，3)解析由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圆心C(1，1)设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，3)6点P(x0，y0)是圆x2y216上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是_答案x2y24解析设M(x，y)，则即又P(x0，y0)在圆上，4x24y216，即x2y24.7设圆的方程为x2y24x50.(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程解(1)将x2y24x50配方得：(x2)2y29.圆心坐标为C(2，0)，半径为r3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CPAB，kCPk1.又kCP1，k1.直线AB的方程为y1(x3)，即：xy40.二、能力提升8圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则圆心(1，2)在直线上，求得ab1，aba(1a)a2a，即ab的取值范围是，故选A.9已知两定点A(2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A B4 C8 D9答案B解析设点P的坐标为(x，y)，由|PA|2|PB|得(x2)2y24(x1)24y2，即(x2)2y24.故点P的轨迹所围成的图形的面积S4.10光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x5)2(y7)24的最短路程等于_答案62解析A(1，1)关于y轴对称点A(1，1)，所求的最短路程为|AC|2，|AC|6.所求的最短路程为62.11已知定点A(2，0)，圆x2y21上有一个动点Q，若线段AQ的中点为P，求动点P的轨迹解设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，利用中点坐标公式有即xy1，(2x2)2(2y)21，动点P的轨迹方程为(x1)2y2.动点P的轨迹为以(1，0)为圆心，为半径长的圆三、探究与创新12设A(c，0)，B(c，0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹解设动点P的坐标为(x，y)，由a(a0)得a2，化简得(1a2)x22c(1a2)x(1a2)c2(1a2)y20.当a1时，方程化为x0；当a1时，方程化为y2.所以当a1时，点P的轨迹为y轴；当a1时，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆13自点A(4，0)引圆x2y24的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程解法一设坐标原点为O，连结OP，则OPBC.设P(x，y)