江西省南康中学2018_2019学年高二数学上学期第二次月考（期中）习题理.docx

南康中学20182019学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 都不对2.圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）A扩大到原来的倍B缩小到原来的一半C缩小到原来的 D.不变 3.等比数列，满足，且，则（ ）A31 B36 C42 D484在棱长为1的正方体中，分别是和的中点，则直线与 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.5. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第6组抽取的号码为143，则第一组抽取的号码为（ ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 196.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A BC D7直线关于直线对称的直线方程是（ ）A B C D8如图， 到的距离分别是和， 与 所成的角分别是和， 在内的射影长分别是和，若，则（ ）A. B. C. D. （第8题） （第9题）9. 如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点 分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 10.在正方体中中，点在棱上，点在棱上，且平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为( )AB C D11. 已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（ ）A. B. C. D. 12. 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线 的平面分别与棱交于，设给出以下四个命题：直线与所成的角为锐角；当且仅当时，四边形的面积最小；四边形周长,则是奇函数；不论为何值，四棱锥的体积为定值；其中正确命题的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列满足，则_14. 已知圆锥的母线长度为2，圆锥的底面圆半径为,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为_15. 过点向圆所引的切线方程为_16如图，在正方体中，点为线段的中点，设动点在线段上运动，直线与平面所成的角为，则的最小值为_三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余小题各12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17在中，（I）求的大小；（II）求的最大值18.已知圆经过两点，且圆心在直线上，直线的方程为（I）求圆的方程；（II）证明：直线与圆恒相交； 19如图，在直三棱柱中， ， 分别为的中点.（I）求异面直；（II）求点 20. 设数列的前n项和为，且，数列满足，点在直线xy+2=0上，nN*（I）求数列，的通项公式；（II）设，求数列的前项和21. 如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，且DAB60，PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB平面ABCD，已知点M是PD的中点(1)证明：PB平面AMC；(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值22. 如图，菱形中，与相交于点，.（I）求证：平面；（II）当直线与平面所成角的大小为时(i)求三棱锥的体积.(ii)求二面角的余弦值. 南康中学20182019学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）参考答案一选择题：1-5：C B A B C; 6-10：A D D B B; 11-12:C B;12.【解析】因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小所以正确连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥因为三角形的面积是个常数到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为定值，所以正确二、填空题：13.63; 14.2； 15.； 16.；16.解析：连结A1O，OP和PA1，不难知POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角或其补角设正方体棱长为2，则AO，A1O，(1)当P点与C点重合时，PO，A1P2，且cos，此时A1OP为钝角，sin(2)当P点与C1点重合时，POA1O，A1P2，且cos，此时A1OP为锐角，sin(3)在从钝角逐渐变化到锐角的过程中，CC1上一定存在一点P，使得A1OP90，sin1由于，sin的取值范围是，1. 因此sin最小值为三、解答题：17.【解析】： （1），又，.(4)分（2）由（1）知 , .(8)分因为，所以当时，取得最大值.(10)分18.【解析】（1）设圆C的方程为, 圆心坐标.(1)分由条件，得,解得.(5)分圆的方程为即.(6)分 （2）由，得，令，得，直线l过定点M（3，-1），由，知点M（3，-1）在圆内直线l与圆C恒相交.（12分）20 .【解析】：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn1+1（n2），两式相减得an+1an=2an即an+1=3an（n2）又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1故an是首项为1，公比为3的等比数列所以an=3n1 .（3分）由点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，所以bn+1bn=2则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则bn=1+（n1）2=2n-1 .（6分）（2）因为，所以则，两式相减得：.（9分）所以=.(12分）21. 解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OBOD，又M为PD的中点，所以OMPB.由PB平面AMC，OM平面AMC，所以PB平面ACM.(4分）则，则，设平面AMC的法向量为n(x，y，z)，则 令，则，即.(8分）又，设，则，故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为.（12分）22. .（4分）.（II）(i)以为原点，以所在直线分别为轴