高考数学复习不等式推理与证明第34讲基本不等式优选学案.docx

第34讲基本不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2017江苏卷，102017山东卷，122017天津卷，13对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.分值：5分1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：！_a0，b0_#.(2)等号成立的条件：当且仅当！_ab_#时取等号2几个重要不等式(1)a2b2！_2ab_#(a，bR)(2)！_2_#(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为！_#，几何平均数为！_#，基本不等式可叙述为！_两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数_#.4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当！_xy_#时，xy有最！_小_#值，是！_2_#(简记：积定和最小)；(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当！_xy_#时，xy有最！_大_#值，是！_#(简记：和定积最大)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)“x0，y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()解析(1)错误因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2.(2)错误利用基本不等式时，等号不成立(3)错误不是充要条件，当x0，y0，n0，mn218.当且仅当mn9时，等号成立3若M(aR，a0)，则M的取值范围为(A)A(，44，)B(，4C4，)D4,4解析Ma.当a0时，M4；当a0时，M4.4若x1，则x的最小值为！_5_#.解析xx11415，当且仅当x1，即x3时，等号成立5若x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为！_2_#.解析由已知条件lg xlg y1，可知xy10.则22，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性【例1】 (1)已知x0，y0，z0，求证：8.(2)已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明 (1)x0，y0，z0，0，0，0，8，当且仅当xyz时等号成立(2)a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时取等号二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式【例2】 (1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为(B)ABCD(2)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a(C)A1B1C3D4(3)已知x，求f(x)4x2的最大值解析(1)0x2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当x2，即(x2)21时，等号成立x1或3.又x2，x3，即a3.(3)因为x0，则f(x)4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.【例3】 (1)(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为！_4_#.(2)已知x为正实数，且x21，求x的最大值解析(1)，由基本不等式，得24ab4，当且仅当，4ab同时成立，即a2，b2时等号成立(2)因为x0，所以x.又x2.所以x，当且仅当x2，即x时，等号成立故(x)max.三利用基本不等式解决实际应用问题(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解【例4】 (2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是！_30_#.解析一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.1已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(B)A(，1)B(，21)C(1,21)D(21,21)解析由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，k12，即k21.2某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(B)A60件B80件C100件D120件解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号3若2x4y4，则x2y的最大值是！_2_#.解析因为42x4y2x22y22，所以2x2y422，即x2y2，当且仅当2x22y2，即x2y1时，x2y 取得最大值2.4若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是！32#.解析直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求ab的最小值由直线l经过点(1,2)，得1.于是ab(ab)1(ab)3.因为22，所以ab32，则(ab)min32.易错点不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧【例1】 已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则的最小值为！_#.解析由已知得恒成立2(当且仅当x2y时取等号)，2，即的最小值为2.答案2【跟踪训练1】 设a，b0，ab5，则 的最大值为！3#.解析因为()2ab42929ab418，所以3，当且仅当a1b3且ab5，即a，b时等号成立，所以的最大值为3.课时达标第34讲解密考纲考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现，或在解答题中作为工具使用一、选择题1已知f(x)x2(x0，则下列不等式中，恒成立的是(C)Aab2BC2Da2b22ab解析ab0，0，0，22，当且仅当ab时取等号3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为(C)AB4C2D2解析a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2时等号成立(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是(A)A22B22C2D2解析x1，x10.yx122222.当且仅当x1，即x1时，取等号5若正数a，b满足ab2，则的最小值是(B)A1BC9D16解析(52)，当且仅当，即b12(a1)时取等号故选B6小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A)AavBvCv0)图象上的点，则xy的最小值为！2#.解析因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy时等号成立8(2017山东卷)若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为！_8_#.解析直线1(a0，b0)过点(1,2)，1.又a0，b0，2ab(2ab)4428，当且仅当，即a2，b4时等号成立，2ab的最小值为8.9已知x，y为正实数，3x2y10，则的最大值为！2#.解析由，得2，当且仅当x，y时取等号三、解答题10设a，b，c均为正数，且abc1，证明：1.证明 因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析(1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，(8)0，又0，8，即xy64.当且仅当x4y，即8y8y4y20，即y4，x16时取等号，xy的最小值为64.(2)2x8yxy0，1，xy(xy)1010218.当且仅当，即x2y，即4y8y2y20，即y6，x12时取等号，xy的最小值为18.12某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？