2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修.docx

2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题知识点双曲线的几何性质1渐近线：直线yx叫做双曲线1(a0，b0)的渐近线2离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1)3双曲线的几何性质见下表：标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a；虚轴长：2b渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)1等轴双曲线的离心率是.()2椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()3双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()4双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()题型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解将9y24x236化为标准方程为1，即1，所以a3，b2，c.因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.引申探究求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为yx，即yx.反思感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)，离心率e，渐近线方程为yx.题型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其标准方程为1.(2)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.反思感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)，从而直接求出来当双曲线的渐近线方程为yx时，可以将方程设为(0)跟踪训练2(1)求与双曲线1有共同的渐近线，且经过点M(3，2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程解(1)设所求双曲线的方程为(0)点M(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.题型三直线与双曲线的位置关系例3(1)求直线yx1被双曲线x21截得的弦长；(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x21截得的弦中点的轨迹方程解(1)由得4x2(x1)240.化简得3x22x50.设此方程的解为x1，x2，则有x1x2，x1x2.故所截得的弦长d|x1x2|.(2)方法一当该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为ykx1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)由得(4k2)x22kx50.设此方程的解为x1，x2，则4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1)方法二设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，则，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，当直线AB的斜率k0时，得，即，整理得4x2y2y0(y1)当k0时，y1y21，x1x20，x0，y1，也满足4x2y2y0.综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2y2y0(y0，b0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以双曲线方程为x21.(2)由题意可知直线m的方程为yx2，联立双曲线及直线方程消去y得2x24x70，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦长公式得|AB|x1x2|6.存在性问题需验证典例已知双曲线2x2y22，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1x2，且x1x22，y1y22，由两式相减并变形得2，若存在，则直线l为y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，而80，方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线素养评析(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A4B4CD.考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其它问题答案C解析由双曲线方程mx2y21，知m0，则双曲线方程可化为y21，则a21，a1，又虚轴长是实轴长的2倍，b2，b24，m，故选C.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4B3C2D1答案A解析方程表示双曲线，a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.答案C解析由题意知a259, 解得a2，e.4若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_答案(，0)解析由渐近线方程为yxx，得m3，c，且焦点在x轴上5设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由条件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a，双曲线方程为y21，因此其渐近线方程为yx.双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解一、选择题1下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由双曲线的几何性质知，双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选A.2直线yx1被双曲线2x2y23所截得的弦的中点坐标是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)答案C解析将yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中点的横坐标为1.故选C.3过双曲线x2y24的右焦点且平行于虚轴的弦长是()A1B2C3D4答案D解析设弦与双曲线的交点为A，B(A点在B点上方)，由ABx轴且过右焦点，可得A，B两点的横坐标为2，代入双曲线方程得A(2，2)，B(2，2)，故|AB|4.4已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析双曲线C的渐近线方程为0，点P(2,1)在渐近线上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故选A.5已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为()Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y225答案B解析设等轴双曲线的方程为x2y2a2(a0)，与yx联立，得x2a2，|AB|a2，a3，故选B.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx答案C解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.7若在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A() B(1，) C(2，) D(1,2)答案C解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意知，在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.8设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若3，则双曲线C的离心率e等于()A.B.C.D.答案D解析设F(c,0)，则过双曲线1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线l的方程为y(xc)，而渐近线方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，则3，即ba，则ca，则e，故选D.二、填空题9过点A(3，1)且被A点平分的双曲线y21的弦所在的直线方程是_答案3x4y50解析易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y1k(x3)，代入y21，消去y得关于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直线方程为3x4y50.10过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案3解析易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3.11已知双曲线1(b0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为_答案2解析由双曲线方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以双曲线的一条渐近线方程为yxx，一个焦点为F(4,0)焦点F到渐近线yx的距离d2.三、解答题12已知双曲线的一条渐近线为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程解椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为8.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.13设双曲线1(a0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程(l1的斜率大于零)；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程解(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.双曲线方程为y21，渐近线方程为yx.l1的方程为yx，l2的方程为yx.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)2|AB|5|F1F2|52c20，|AB|10，10，即(x1x2)2(y1y2)2100.y1x1，y2x2，x1x22x，y1y22y，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，y(x1x2)，y1y2x，代入(x1x2)2(y1y2)2100，得3(2y)2(2x)2100，整理得1.14双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为_答案解析如图，在RtMF1F2中，MF1F230.又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|2ctan30c.2a|MF1|MF2|c.e.15已知双曲线C1：x21.(1)求与双曲线C