某重点高中2017_2018学年高二数学上学期期中试题理（含解析）.docx

2017-2018学年上期高二期中考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 中，角的对边分别为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在ABC中， ，则 ，由正弦定理可得： 故选C2. 等比数列中，若，则（ ）A. 64 B. -64 C. 32 D. -32【答案】A【解析】数列是等比数列，即 解得 那么 故选A3. 已知等差数列中，公差，则（ ）A. 5或7 B. 3或5 C. 7或-1 D. 3或-1【答案】D【解析】在等差数列中，公差，得 ，解得 或 故选D4. 中，,则（ ）A. 15 B. 9 C. -15 D. -9【答案】B.故选B5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 12【答案】B【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ，故选B6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（ ）A. -4 B. -3 C. -2 D. -1【答案】A【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ，公差 为整数， 故选A7. 已知中，角的对边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，要使三角形有两解，就是要使以 为圆心，半径为2的圆与有两个交点，当时，圆与相切；当时交于点，也就是只有一解，即 由正弦定理以及 可得： 的取值范围是 故选C8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C当 时，的形状是等腰三角形，当 时，即 ，那么 ，的形状是直角三角形故选C【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用解题的关键是得到一定要注意分类讨论9. 已知中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据正弦定理 化简已知等式得： ，又 为三角形的内角，则 故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键10. 九章算术中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选B.11. 设为等差数列，公差，则使前项和取得最大值时正整数等于（ ）A. 4或5 B. 5或6 C. 6或7 D. 8或9【答案】B【解析】设等差数列an的首项为公差为解得a或（舍去）则 ， 故使前项和取最大值的正整数是5或6故选B12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 由题 为锐角，可得 由正弦定理可得 ，可得： ， 为锐角，可得 ，可得 故选C第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形面积为_【答案】【解析】 ，故 ，故三角形面积 故答案为14. 数列的首项，则_【答案】-61【解析】由题数列的首项，则当时。 是以-1为首项以2为公比的等比数列， 故答案为-6115. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则=_【答案】【解析】 故答案为16. 如图半圆的半径为1，为直径延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为_.【答案】【解析】设，在中，由余弦定理得： ，所以四边形的面积为： ， ，当 ，即 即时，四边形 面积取得最大值，最大为 故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题其中利用余弦定理得到是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积，求边.【答案】(1)；(2)7.【解析】试题分析：（1）根据 利用二倍角和诱导公式化简可得角（2）根据 ，即可求解边的值试题解析：（1）解得或，.（2），即， ，解得.18. 已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：1）根据是等比数列，可得 *可得，即可求解数列的通项公式；（2）根据等比数列的前项和公式求解n，由于，分离参数，即可求解实数的取值范围试题解析：（1）设等比数列公比为，.（2）由（1）知，即对一切恒成立.令，则随的增大而增大.，实数的取值范围是.【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和的求解，其中根据分离参数的表达式以及结合单调性求解范围是解决本题的关键19. 在等差数列中，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列出关于首项和公差的方程组，求得，代入等差数列的通项公式求解；（2）求出，可得，利用裂项相消法求和后即可证明试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由及等差数列的通项公式，得，又，解得，则；（2）由（1）知，即 ，则 .所以.20. 在锐角中，分别为角的对边，且.（1）确定角的大小；（2）当时，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知可求，结合范围 ，求得 ，结合范围 ，即可得解 的值（2）根据正弦定理可得，结合是锐角三角形，可求得周长的最大值.试题解析：（1）由及正弦定理得，.，.是锐角三角形，.（2）， .是锐角三角形，故，所以周长的最大值是.21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由.【答案】（1）轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短；（2）航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在 中，利用余弦定理得出关于t的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度；（2）利用余弦定理计算航行时间，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则 .当时，即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短.（2）设轮船与轮船在处相遇，则 ，即.，即，解得，又时，时，最小且为，此时中，航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.22. 已知数列及，且,.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证:.【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由已知条件利用函数的性质能求出 的值（2）由已知条件推导出，由此能求出数列的通项公式（