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大题规范满分练(一)函数与导数综合问题1.(2018全国卷)已知函数f=-x+aln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f(x)=0得,x=或x=.当x,+时,f(x)0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于=-1+a=-2+a=-2+a,所以a-2等价于-x2+2ln x20.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)0.所以-x2+2ln x20,即0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点.【解析】(1)由f(x)=-kln x(k0),得x0且f(x)=x-=.由f(x)=0,解得x=(负值舍去).f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+).f(x)在x=处取得极小值f()=,无极大值.(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以0,从而ke.当k=e时,f(x)在区间(1,上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,上的唯一零点.当ke时,f(x)在区间(0,上单调递减,且f(1)=0,f()=0,所以f(x)在区间(1,上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点.3.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间;(2)当0-0,当a=-1时,f(x)=-x+ln x(x0),f(x)=(x0);当0x0;当x1时,f(x)0),令f(x)=0,解得x=-;由f(x)0,解得0x-;由f(x)0,解得-xe.从而f(x)的单调递增区间为0,-,递减区间为-,e,所以f(x)max=f-=-1+ln-=-3.解得a=-e2.(3)由(1)知当a=-1时,f(x)max=f(1)=-1,所以|f(x)|1.令g(x)=+,则g(x)=.当0x0;当xe时,g(x)0.从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上
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