2019河南中考数学专题之函数图象及性质的探究

2019河南中考数学专题之函数图象及性质的探究【中考母题】某班“数学兴趣小组”对函数yx22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x3210123y3m10103其中，m0；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x22|x|0有3个实数根；方程x22|x|2有2个实数根；关于x的方程x22|x|a有4个实数根，a的取值范围是1a0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y2(x)(x0)探索研究：我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数yx(x0)的图象性质列表：x1234ym2表中m；描点：如图所示；连线：请在图中画出该函数的图象；观察图象，写出该函数的两条性质；解决问题：在求二次函数yax2bxc(a0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到同样通过配方也可以求函数yx(x0)的最小值yx()2()2()2()222()22.()20，y2.当0，即x1时，y最小2.请类比上面配方法，直接写出“问题情境”中的问题的答案解：探索研究如图性质：答案不唯一，如：函数有最小值2，当x1时，y随x的增大而增大解决问题： y2(x)2()24，当0，即x时，y有最小值4，当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4.3.如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交于点M，连接MB，过点P作PNMB于点N.已知AB6 cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，N两点间的距离为y cm.(当点P与点A或点B重合时，y的值为0) 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.11.60.90(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当PAN为等腰三角形时，AP的长度约为2.2cm.解：(2)利用描点法，画出图象如图所示(3)当PAN为等腰三角形时，xy，作出直线yx与图象的交点坐标为(2.2，2.2)，PAN为等腰三角形时，PA2.2 cm.4.根据下列要求，解答相关问题：(1)请补全以下求不等式2x24x0的解集的过程构造函数，画出图象：根据不等式的特征构造二次函数y2x24x.抛物线的对称轴为x1，开口向下，顶点(1,2)，与x轴的交点是(0,0)，(2,0)，用三点法画出二次函数y2x24x的图象如图1所示；数形结合，求得界点：当y0时，求得方程2x24x0的解为 ；借助图象，写出解集：由图象可得不等式2x24x0的解集为 (2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x22x14的解集构造函数，画出图象；数形结合，求得界点；借助图象，写出解集(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2bxc0(a0)的解集解：(1)x10，x22；2x0；(2)构造函数，画出图象：构造函数yx22x1，抛物线的对称轴为x1，开口向上，顶点坐标为(1,0)，关于对称轴x1对称的一对点为(0,1)，(2,1)，用三点法画出函数图象如解图所示：数形结合，求得界点：当y4时，方程x22x14的解为x11，x23；借助图象，写出解集：由题图可知，不等式x22x14的解集是1x3；(3)当b24ac0时，关于x的不等式ax2bxc0(a0)的解集是x或x；当b24ac0时，关于x的不等式ax2bxc0(a0)的解集是x；当b24ac0时，关于x的不等式ax2bxc0(a0)的解集是全体实数5.已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 解:(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分)令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5,抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分) 对称轴为直线x=2.(3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0), 可得其对称轴为直线x=-4a2a=2.(4分)令x=0,有y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5).(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).(6分) y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).(7分) (3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5, 抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),(8分) 6. 阅读下面材料:如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=kx交于A(1,3)和B(-3,-1)两点. 图1 观察图象可知: x=-3或1时,y1=y2;当-3xy2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+bkx的解集. 有这样一个问题:求不等式x3+4x2-x-40的解集.某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2-x-