5确定圆的条件

5确定圆的条件关键问答确定圆的三个点必须满足什么条件？如何过不在同一直线上的三个点作一个圆？1.下列命题中，正确的是()A同一平面内的三点确定一个圆B三角形的外心是三角形三边中垂线的交点C三角形的外心到三角形三边的距离相等D菱形的四个顶点在同一个圆上2分别作出直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的外接圆，并归纳这三类三角形的外心的位置规律命题点 1确定圆心及圆的条件热度：86%3.已知A，B，C为平面上的三点，AB2，BC3，AC5，则()A可以画一个圆，使点A，B，C都在圆上B可以画一个圆，使点A，B在圆上，点C在圆内C可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆外D可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内方法点拨判断经过已知三点能否作圆，首先判断这三个已知点是否在同一直线上，若这三点不在同一直线上，则可以作出过这三个已知点的圆，否则不能.4平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为()A1个或3个 B3个或4个C1个或3个或4个 D1个或2个或3个或4个5如图351，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，2)，则ABC的外心的坐标是()图351A(2，3) B(3，2) C(1，3) D(3，1)6.如图352，点 A，B，C均在66的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_ 图352方法点拨三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，圆上任意一点到这点的距离相等.7已知平面直角坐标系中的三个点A(1，1)，B(2，5)，C(4，6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由命题点 2与三角形外接圆有关的计算和证明热度：81%8如图353，点O为ABD的外心，点C为直径BD下方弧BD上一点，且不与点B，D重合，ACBABD45，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是()图353AACBCCD B.ACBCCDC.ACBCCD D2ACBCCD解题突破延长CD到点E，使DEBC，连接AE，你能说明CAE是等腰直角三角形吗？9.如图354，在ABC中，BAC50，把ABC沿EF折叠，C对应点恰好与ABC的外心O重合，则CFE的度数是() 图354A40 B45 C50 D55知识链接折叠前后对应角相等，对应线段相等，连接对应点的线段被折痕垂直平分.10.已知O的内接三角形ABC中，ABAC，圆心O到BC的距离为6，圆O的半径为10，则腰AB的长为_易错警示对于圆内接三角形，若题目未指明其形状，则应分情况讨论.112019温州如图355，D是ABC的BC边上一点，连接AD，作ABD的外接圆，将ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上(1)求证：AEAB；(2)若CAB90，cosADB，BE2，求BC的长图35512.如图356，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为F，ABC的平分线BE交AD于点E，连接BD，CD.(1)求证：BDCD；(2)请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，DB长为半径的圆上，并说明理由图356方法点拨在圆中证明线段相等的常用依据：(1)弧、弦、圆心角的关系定理；(2)垂径定理；(3)三角形中“等角对等边”的性质定理；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.命题点 3三角形外接圆的实际应用热度：91%13小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图357所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()图357AAB，AC边上的中线的交点BAB，AC边上的垂直平分线的交点CAB，AC边上的高所在直线的交点DBAC与ABC的平分线的交点14小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图358，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在ABC中，AB8米，AC6米，BAC90，试求小明家圆形花坛的面积图35815.如图359，ABC是O的内接三角形，直径GHAB，交AC于点D，GH，BC的延长线相交于点E.(1)求证：OADE；(2)若OD1，DE3，试求O的半径；(3)当是什么类型的弧时，CED的外心在CED的外部、内部、一边上(只写结论，不用证明)?图359解题突破(1)要证两角相等，注意到其所在两个三角形中有一组对顶角，另借助垂径定理及圆周角定理可得AOG和ACB相等，再利用外角的性质实现等角关联(2)外心与三角形的位置关系存在几种情形？详解详析1B解析 A项，在同一平面内且不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误B项，三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，故本选项正确C项，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误D项，菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，对角互补的四边形的四个顶点才能在同一个圆上，故本选项错误故选B.2解：作图略结论：直角三角形的外心在斜边中点处，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部3D解析 由已知可得ABBCAC，故可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内4C解析 不在同一条直线上的三个点确定一个圆由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑(1)当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，一共可以确定3个圆；(2)当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共可以确定4个圆；(3)当四个点共圆时，只能确定1个圆故选C.5D解析 根据垂径定理的推论，作弦AB，AC的垂直平分线，交点O即为圆心，它的坐标是(3，1)故选D.65解析 如图，分别作AB，BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心，OA为半径作圆，则O即为过A，B，C三点的外接圆由图可知，O还经过点D，E，F，G，H这5个格点7解：能理由如下：设直线AB的表达式为ykxb，把A(1，1)，B(2，5)代入得解得所以直线AB的表达式为y2x1.当x4时，y241817，所以点C(4，6)不在直线AB上，即点A，B，C不共线，所以过A，B，C这三个点能确定一个圆8B解析 在CD的延长线上截取DEBC，连接AE.ABDACBADB45，ABAD.ADEADC180，ABCADC180，ABCADE.在ABC与ADE中，ABAD，ABCADE，BCDE，ABCADE，BACDAE，BACCADDAECAD，BADCAE90.又ACDABD45，CAE是等腰直角三角形，ACCE，ACCDDECDBC.故选B.9C解析 如图，作出ABC的外接圆，连接OB，OC，由圆周角定理得BOC2BAC100.OBOC，OCF(180100)40.由折叠的性质得OCEF，CFE904050.故选C.108 或4 解析 分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论如图，若BAC是锐角，则ABC是锐角三角形连接OA，OB，过点O作ODBC于点D，易得O，A，D共线OD6，OB10，BD8，AD10616，AB 8 .如图，若BAC是钝角，则ABC是钝角三角形，和图解法一样，只是AD1064.AB4 .故腰AB的长为8 或4 .11解：(1)证明：由折叠的性质可知ADEADC，AEDACD，AEAC.ABDAED，ABDACD，ABAC，AEAB.(2)如图，过点A作AHBE于点H，ABAE，BE2，BHEH1.ABEAEBADB，cosADB，cosABEcosADB，ACAB3.BAC90，ACAB，BC3 .12解析 (1)利用等弧对等弦即可证明(2)利用等弧所对的圆周角相等，得BADCBD，再等量代换得出DBEDEB，从而证明BDDECD，所以B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上解：(1)证明：AD为ABC外接圆的直径，ADBC，BDCD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB长为半径的圆上理由：BE为ABC的平分线，ABECBE.由(1)知，BADCBD.DBECBDCBE，DEBBADABE，DBEDEB，BDDE.由(1)知，BDCD，BDDECD，B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上13B解析 由题意可得所求的圆形玻璃是ABC的外接圆，这块玻璃镜的圆心是ABC三边垂直平分线的交点故选B.14解：(1)要把圆形花坛画出来，必须先找到圆心O，AB，BC是圆的弦，可用尺规分别作出AB，BC的中垂线，中垂线的交点即为圆心O，如图(2)BAC90，AB8米，AC6米，BC10米，ABC外接圆的半径为5米，小明家圆形花坛的面积为25平方米15解析 (1)由于CDE和AOD中已经有一组对顶角，那么我们可通过证明它们的外角AOG和ACB相等来证OADE.根据垂径定理我们不难得出，再根据圆周角定理即可得出AOGACB，由此得证(2)我们可通过构建与OE，OD和圆的半径相关的相似三角形进行求解连接OC，只要证明OCD和OEC相似，即可得出关于上述三条线段的比例关系，从而求出半径，所以关键是证这两个三角形相似，已知一个公共角，我们通过等边对等角可得出OADOCA，又由(1)的结果，即可得出OCDE，由此就能证出这两个三角形相似，得出OD，OE，OC三条线段的比例关系式后，即可求出圆的半径(3)其实就是看ACB的度数，如果ACB是锐角(是劣弧)，那么CDE的外心在三角形外部；如果ACB是钝角(是优弧)，那么CDE的外心在三角形内部；如果ACB是直角(是半圆)，那么CDE的外心在CDE的一边上解：(1)证明：连接OB.GH为O的直径，GHAB，AOGGOBAOB.ACBAOB，AOGACB.AOGADOOAD，ACBCDEE，ADOCDE，OADE.(2)连接OC，则OADOCA.OADE，OCDE