平面向量的数量积及平面向量的应用举例(2).ppt

第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,1.两个向量的夹角,(1)定义 已知两个 向量a和b,作 =a, =b,则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的取值范围是 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角= , 则a与b垂直,记作 .,ab,非零,0180,0,180,90,2. 平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规定零向量与任一向量的数量积为 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 定义 设是a和b的夹角,则 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做 的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是 ,当90180时,它是 ,当=90时,它是 . ab的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与 的投影|b|cos 的乘积.,b在a方向上,|a|b|cos ,0,|a|b|cos ,|a|cos ,b在a方向上,正数,负数,0,3. 向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae= . (2)ab ab= . (3)当a与b同向时,ab= ; 当a与b反向时,ab= . 特别地:aa=a2=|a|2或|a|= . (4)|ab| |a|b|. (5)cos = (是a与b的夹角).,|a|cos ,0,|a|b|,|a|b|,4. 向量数量积的运算律 (1)ab= (交换律); (2)(a)b= = (数乘结合律); (3)(a+b)c= (分配律). 5. 平面向量数量积的坐标表示 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)ab= . (2)|a|= , |b|= . (3)ab . (4)若a与b夹角为,则cos = . (5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|c|= .,6. 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决几何问题一般分四步: （1）选好基向量; (2)建立平面几何与向量的 ,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ; (3)通过 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (4)把运算结果“翻译”成 .,几何关系,联系,向量问题,向量运算,基础达标,1.(2010重庆改编)若向量a=(3，m)，b=(2，-1)， ab=0，则实数m的值为_,解析：因为ab6m0，所以m6.,6,2. (2010安徽改编)设向量a=(1,0)，b= ， 则下列结论中正确的有_ (写出所有正确结论的序号) |a|=|b|； ab= ； a-b与b垂直；ab.,解析：利用向量的坐标运算，直接验证 即可判定是错误的；而ab ， (ab)b0，即ab与b垂直，故只有 是正确的,3. (必修4P77练习2改编)设e1，e2是两个单位向量， 它们的夹角是60，则(2e1-e2)(-3e1+2e2)=_.,解析：(2e1e2)(3e12e2) 6e2e7e1e2 62711cos 60 .,4. 已知向量a=(2,1)，ab=10，|a+b|=5 ， 则|b|=_.,5,解析：由a(2,1)得|a| ，由|ab|5知 (ab)2|a|2|b|22ab50，得|b|5.,5. (必修4P81习题13改编)已知|a|=1，|b|=6，a(b-a)=2， 则向量a与向量b的夹角是_,解析：因为由条件得aba22， 所以ab2a23， 故所求夹角的余弦为cos ， 即夹角为 .,经典例题,【例1】(1)(2010广东改编)若向量a=(1,1)，b=(2,5)， c=(3，x),满足条件(8a-b)-c=30，则x=_. (2)(2010天津改编)如图，在ABC中，ADAB， ， ，则 = .,分析： (1)利用数量积公式化简计算； (2)利用正弦定理进行化简求解,题型一 数量积的运算,解：(1)(8ab)(8,8)(2,5)(6,3)， (8ab)c633x30x4. (2) cosDAC cosDAC sinBAC sin B sin B .,.,变式1-1 (2010广州模拟)已知点A(1,0)，B(0,1)， C(2sin，cos ) (1)若 ，求tan 的值； (2)若 ，其中O为坐标原点， 求sin 2的值,解析： (1)A(1,0)，B(0,1)，C(2sin，cos)， (2sin1，cos)， (2sin，cos1) | | |， ， 化简得：2sincos， cos0(若cos0，则sin1，上式不成立)， tan .,(2) (1,0)， (0,1)， (2sin，cos)， (1,2) ， 2sin2cos1，sincos ， (sincos)2 ，sin2 .,题型二 模长与垂直问题,【例2】已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|，|4a-2b|； (2)当k为何值时，(a+2b)(k a-b)?,分析： (1)利用模长公式|a| 和|ab| 求解 (2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.,解：由已知得，ab|a|b|cos 12048 16. (1)|ab|2a22abb2162(16)6448， |ab|4. |4a2b|216a216ab4b2161616 (16)4643162， |4a2b|16.,(2)若(a2b)(k ab)， 则(a2b)(k ab)0， k a2(2k1)ab2b20， 即16k16(2k1)2640，k7.,解析：(1)方法一：bc(cos 1，sin )， 则|bc|2(cos 1)2sin22(1cos )， 1cos 1， 0|bc|24，即0|bc|2. 当cos 1时，有|bc|2， 向量bc的长度的最大值为2. 方法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2， 当cos 1时，有bc(2,0)，即|bc|2， bc的长度的最大值为2.,变式2-1 (2009湖北)已知向量a=(cos a，sin a)，b=(cos b，sin b)， c=(-1,0) (1)求向量b+c的长度的最大值； (2)设 ，且a(b+c)，求cos b的值,(2)方法一：由已知可得bc(cos1，sin)， a(bc)coscoscossinsincos()cos. a(bc)， a(bc)0，即cos()cos. 由 ，得cos cos ， 即 2k (kZ)， 2k 或2k(kZ)， 于是cos 0或cos 1.,方法二：若 ，则a ， 又由b(cos ，sin )，c(1,0)得 a(bc) (cos 1，sin ) cos sin . a(bc)， a(bc)0，即cos sin 1， sin 1cos ，平方后化简得 cos (cos 1)0， 解得cos 0或cos 1，,题型三 夹角问题 【例3】 已知a、b都是非零向量，且|a|=|b|=|a-b|. 求a与a+b的夹角,分析：由公式cos 可知，求两个向量的 夹角关键是求数量积及模的积 本题中|a|b|ab|的充分利用是求数量积的 关键，考虑怎样对条件进行转化,解： 方法一：由|a|b|ab|，得 |a|2|b|2，|b|2a22abb2， 所以ab a2. 而|ab|2|a|22ab|b|22|a|22|a|23|a|2， 所以|ab| |a|. 设a与ab的夹角为，则 cos ， 由于0180，所以30.,方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)， 由|a|b|ab|，得 |a|2|b|2，|ab|2a22abb2， 所以x12y12x22y22x12y12x22y222x1x22y1y2， 即x1x2y1y2(xy)， 所以|ab|2(x1x2)2(y1y2)2 x12y12x22y22+2x1x2+2y1y2 3(x12y12)， 故|ab| .设a与ab的夹角为， 则cos ， 由于0180，所以30.,变式3-1 已知|a|= ，|b|=3，a和b的夹角为45， 求当向量a+b与 a+b的夹角是锐角时， l的取值范围,解析:ab|a|b|cos 45 . ab与ab的夹角为锐角， (ab)(ab)0， 即ab2(a2b2)ab0. 把ab3，a2b2|a|2|b|22911代入上式 得321130， 解得 ， 又因为ab与ab的夹角为锐角，所以即1， 所以 ,题型四 向量在几何中的应用 【例4】已知等腰直角三角形AOB中，AC、BD 为两直角边上的中线，求AC、BD相交所形成的 钝角的余弦值.,分析： 角的计算，可归结为两个向量的夹角的计算 本题适当建立坐标系后，正确地写出相关点 的坐标及向量的坐标，即可通过运算求解.,解析：如图，分别以等腰直角三角形AOB的两直角边 为x轴、y轴建立直角坐标系，设A(2a,0)，B(0,2a)，则 D(a,0)，C(0，a)(a0 )， (2a，a)， (a，2a) AC、BD相交形成的钝角即为 与 的夹角， cos 即AC、BD相交形成的钝角的余弦值为 .,变式4-1 已知ABC中，AD为中线，求证：,解析：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立 如图所示的直角坐标系，设A(a，b)，C(c,0)， 则 ，则 (ca，b)， =(c,0),所以 即,易错警示,【例1】 若正ABC的边长为1，则 =_. 错解 由于正ABC的边长为1， 所以A=B=C=60， 所以,正解： 与的夹角为180BCA120， 所以 .,【例