(论文)福建省2010年普通高中毕业班质量检查(数学文)

福 建 省2010 年普通高中毕业班质量检查数 学 试 题（文）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.本试卷满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2考生作答时，将答案答在试题卡上.请按照题号在答题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.3选择题答案用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知为纯虚数，为虚数单位，则a的值为（ ）A-3B3CD2已知向量等于（ ）A-10B-6C0D63等差数列的前n项和为的值为（ ）A26B48C52D1044某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8BC4D5有编号为1，2，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（ ）6若函数上的最小值为-2，则实数m的值为（ ） A-3B-2C-1D17若集合的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知平面区域.若在区域上随机找一个点P，则点P落在区域M的概率为（ ）ABCD9已知椭圆与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则面积的最大值为（ ）A1B2C4D810若函数在区间内单调递增，则可以是（ ）ABCD11函数的零点个数是（ ）A1B2C3D412如图，已知线段，当点A沿着以原点O为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动.设，记x（）为点B的横坐标关于的函数，则在上的图象大致是（ ）第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分.把答案填在答题卡相应位置.13为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图.现按月收入分层，用分层抽样方法在这20000人中抽出200人作进一步调查，则月收入在（单位：元）的应抽取 人.14设函数则 .15过点P（1，1）的直线交O于A、B两点，且，则直线的方程为 .16从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选出3人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：甲、丙两人中至少要选上一人；乙、戊两人中至少要选上一人；乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选如果乙未被选上，则一定入选的两人是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区 A前往H. （）列出此人从小区A到H的所有最短路径（自A至H依次用所经过的小区的字母表示）； （）求他经过市中心O的概率18（本小题满分12分）在中 ，角A、B、C所对的边分别是a、b、c， （I）求 （II）若c=2，的面积.19（本小题满分12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC的中点. （）求证：平面B1MN平面BB1D1D； （II）当点P在DD1上运动时，是否都有MN/平面A1C1P？证明你的结论； （I）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”.（如果多画，则按前3个记分）20（本小题满分12分）已知为递增的等比数列，且 （I）求数列的通项公式； （II）是否存在等数列，使得对一切都成立？若存在，求出若存在，说明理由.21（本小题满分12分） 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）. （I）求抛物线C的方程； （II）命题：“过椭圆的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”命是涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F1、M两点间距离的比值. 试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明； （III）试推广（II）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.22（ 本小题满分14分） 已知函数在处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1. （I）求的解析式； （II）设函数的定义域为D，若存在区间m，n，使得上的值域也是m，n，则称区间m，n为函数的“保值区间”. （i）证明：当时，函数不存在“保值区间”？ （ii）函数是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由.参考答案说明：1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.16DACCBB 712ADBBCB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.1340141516甲、戊三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17本小题主要考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问的能力，满分12分.解：（1）此人从小区A前往H的所有最短路径为：ABCEH，ABOEH，ABOCH，ADOEH，ADOGH，ADFGH 共6条 6分 （2）记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH共4个 10分 即他经过市中心O的概率为 12分 （注：若考生写出路径为ABCEH，ABOEH，6等其他形式，照样给分）18本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，满分12分.解法一：（1） 1分 3分 5分 （2）由正弦定理得 7分由，得，解得 9分从而 10分 12分解法二：（1）， 2分又 5分 （2）同解法一19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，满分12分解：（1）正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD，平面ABCD，连结AC，M、N分别为AB、BC的中点，MN/AC 2分又四边形ABCD是正方形，平面BB1D1D又平面B1MN，平面B1MN平面BB1D1D 5分 （2）当点P在DD1上移动时，都有MN/平面A1C1P 6分证明如下：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1/CC1四边形AA1C1C是平行四边形， 7分由（1）知MN/AC，又面A1C1P，平面A1C1P，MN/平面A1C1P， 9分 （3）符合条件的表面展开图还有5个，如下图，正确画出一个得1分， 满分3分. 12分20本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查特殊与一般思想，化归与转化思想，满分12分解法一：（1）因为是递增的等比数列，所以数列的公比是正数，又所以 3分从而所以数列的通项公式为 6分 （2）假设存在满足条件的等差数列，其公差为，则当时，又当时，则 8分以下证明当时，对一切都成立设即 （1） （2） （2）-（1）得所以存在等差数列使得对一切都成立 12分解法二：（1）同解法一 （2）假设存在满足条件的等差数列，其公差为， 8分由上面两式相减得，又（*） 10分等式（*）对恒成立，解得经检验，存在等差数列使得对一切都成立 12分解法三：（1）同解法一. （2）假设存在满足条件的等差数列，其公差为，使得对一切都成立则有即 8分令 （1） （2）（2）-（1）得所以即 10分因为上式对一切都成立，所以解得所以经检验，存在等差数列使得对一切都成立12分21本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，满分12分.解法一：（1）依题意，可设抛物线C的方程为： 1分抛物线C过点（1，2），解得 3分抛物C的方程为： 4分 （2）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线的焦点F（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点M，则为定值，且定值是2. 6分证明如下：设直线AB的方程为代入，消去因为可设则 7分所以线段AB中点P的坐标为 8分AB的垂直平分线MP的方程为令，解得即所以 9分由抛物线定义可知所以 10分 （3）过抛物线的焦点F代作与对称轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值是2 12分 （注：如果考生给出“过抛物线的焦点F作与轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点M，则为定值，且定值是2”等，照样给分）解法 二：（1）同解法一 （2）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线的焦点F（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点M，则为定值，且定值是2. 6分证明过程下：设直线AB的方程为代入，消去因为可设则 7分所以线段AB中点P的坐标为 8分AB的垂直平分线MP的方程为令，解得即所以 9分由抛物线定义可知所以 10分 （3）同解法：一解法三：（1）同解法一： （2）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线的焦点F（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点M，则为定值，且定值是2. 6分证明如下：依题意，直线与抛物线必有两个交点A、B设线段AB的中点为又直线轴不垂直，由-并整理得即 8分所以AB的垂直平分线MP的方程为令得即所以 9分由抛物线定义可知所以 10分 （3）同解法一22本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分.解法一： （I）2分由4分经检验，满足题意.5分 （II）由（I）得 （i）假设当存在“保值区间”因为当所以在区间是增函数.依题意，于是问题转化为有两个大于1的不等实根7分现在考察函数8分令则是增函数，即在是增函数.存在唯一10分当x变化时，的变化情况如下表：（）-0+单调递减极小值单调递增所以，上单调递减，在上单调递增.于是，又因为所以，当时，的图象与x轴只有一个交点，即方程有