信号与系统石油大学第一章绪论.ppt

Chapter 1,绪 论,Introduction,page2,第一章 绪 论,page3,第一章 绪 论,page4,1.1 基本概念,1.1 基本概念（系统 信号 关系 信号分析/信号处理/系统分析等）,一. 系统,一般认为系统是指由若干个相互关联、相互 作用的事物，按照一定的规律组合而成的具有某 种特定功能的整体。,通信系统,page5,雷达系统,1.1 基本概念,page6,1.1 基本概念,生态系统 湖泊内生物种群数量(细菌 藻类 鱼类等； 输出)与有关制约因素(药物 捕捞 污染等；输入),经济系统 工厂的产量(输出)、库存、销售策略、利 润等因素(输入)之间的关系,过程控制系统(采集温度 压力 流量 液位等物理量 与设定值比较) 产生控制信号 控制物理量,page7,1.1 基本概念,各种系统的属性不同、规模不同、复杂程度不同。,问题：系统数量、种类繁多； 如果不同系统处理方法不同，会产生矛盾。,page8,1.1 基本概念,二. 信号,系统中运动变化的各种量（电压、电流、温度、 种群数量等），统称为信号。,在数学上，信号可表示为一个或多个自变量的函 数。如： 。,本课程中只研究一维信号。,page9,1.1 基本概念,三. 信号与系统间的关系,信号在系统中按照一定规律运动、变化；系 统在输入信号的驱动下，对它进行加工处理，产 生输出信号。,page10,1.1 基本概念,四. 信号与系统的相关理论,详细,详细,P12,page11,1.1 基本概念,page12,1.1 基本概念,信号分析和系统分析是信号处理、信号综合 和系统综合的共同理论基础。,本书介绍信号分析和系统分析的基本概念和 基本分析方法，为进一步学习网络综合、通信理 论、控制理论、信号处理和信号检测理论等打下 基础。,page13,1.2 信号的分类,1.2 信号的分类,一. 确定信号和随机信号,确定信号：是指能够用确定性的图形曲线或解析式来 准确描述，对于给定某一时刻，有确定的数值。如：,本课程中只研究确定性信号。,随机信号：不能用确定的时间函数来描述，其变化规 律事先无法预测。如：通信系统中的噪声等。,page14,二. 连续信号和离散信号,连续信号：在连续时间范围 内都有定义的信 号，称为连续时间信号，简称连续信号。注意这里只 要求定义域取值连续，未要求值域连续。,1.2 信号的分类,定义域取值连续,值域取值也连续,page15,连续信号允许有有限个间断点,值域离散,1.2 信号的分类,page16,实指数函数,1.2 信号的分类,(为实数), 0, 0, = 0,page17,1.2 信号的分类,离散信号：只在一些离散的时刻 有定 义的信号。设 表示相邻两时刻间的时间差， 可以是常数，也可以是变化的。,本课程中只研究 为常数的情况 。,设 ，则信号在 时有定义， 因此信号可表示为 。为简化起见, 又可表示为 。,这样的离散信号又常常称为序列 。,page18,1.2 信号的分类,序列 的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。 对应于某序号 的序列值，称为第 个样点的“样值”。,page19,1.2 信号的分类,单边指数序列,单位阶跃序列（注意与 的差异）,page20,1.2 信号的分类,对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。 对于值域可连续亦可离散。 二者均为连续 为模拟信号。 二者均为离散 为数字信号。,page21,1.2 信号的分类,半波整流信号,方波信号,锯齿序列,正弦序列,page22,1.2 信号的分类,周期信号的特点：只要给出周期信号在任一周期内 的函数式或波形，便可确知其它任意时刻的值。,不具有上述周期特性的信号称为非周期信号。从某种 意义上讲，非周期信号可看做为 的周期信号。,思考： 是否一定为周期序列？（作业1.5）,分析：,要求 (有理数)。,page23,1.2 信号的分类,不具有周期性,page24,1.2 信号的分类,样值的包络线仍为周期函数,page25,1.2 信号的分类,四. 实信号和复信号,复信号：函数（或序列）值均为复数的信号为复信号， 最常用的为复指数信号。,复指数信号:,实信号：函数（或序列）值均为实数的信号为实信号， 如，正、余弦信号，实指数信号 （ 为实数）等。物 理可实现的信号均为实信号。,page26,1.2 信号的分类,二者均为实信号，是幅度随时间变化的正、余弦 信号，相位上相差90。,：表示正弦或余弦振荡的快慢。,page27,1.2 信号的分类,复指数信号包含了很多常用的信号,page28,1.2 信号的分类,复指数序列:,实部与虚部均为实序列，是幅度随时间变化的正、余 弦序列，相位上相差90。,表示正弦或余弦振荡的快慢。,page29,1.2 信号的分类,复指数序列包含了很多常用的序列,实指数序列,虚指数序列,直流序列,正余弦序列,增长或衰减的正余弦序列,page30,1.2 信号的分类,五. 能量信号和功率信号,为了知道信号的能量或功率特性，有时要讨论信 号在单位电阻上的能量或功率。,设信号为 ，则其在单位电阻上的瞬时功率为,，在区间 上的能量为 。,page31,1.2 信号的分类,若信号的能量 ，则称信号为能量有限 信号。此时有 。（注意：不包括 ）,若信号的功率 ，则称信号为功率有限 信号。此时有 。（注意：不包括 ）,page32,1.2 信号的分类,思考：,一个信号能否既是能量有限信号，同时又是功率 有限信号？,答案：不可能,2. 一个信号能否既不是能量有限信号，也不是功率 有限信号？,page33,1.2 信号的分类,对离散信号也可以讨论能量和功率，分别定义为：,page34,1.3 信号的基本运算,1.3 信号的基本运算,在系统分析中，往往需要对信号进行运算，如信 号的加法、乘法、反转、平移和尺度变换等。,page35,例1.3-1 已知序列,求： ， 。,1.3 信号的基本运算,page36,二. 反转和平移,反转：将信号 或 中的 或 换成 或 ，几何 意义是将 以纵坐标为轴翻转。,1.3 信号的基本运算,思考：得出上述结论的依据是什么？,page37,也可利用解析式计算：,1.3 信号的基本运算,page38,离散序列的反转,当序列可用解析式表达时，也可利用解析式计算 。,1.3 信号的基本运算,page39,1.3 信号的基本运算,平移（亦称移位）：若 ，则：,将 的波形向右平移,将 的波形向左平移,思考：得出上述结论的依据是什么？,page40,1.3 信号的基本运算,连续信号的平移示例：,page41,1.3 信号的基本运算,离散信号的平移示例：,page42,1.3 信号的基本运算,解法一：先平移，再反转。,例：以 为例进行分析。,page43,1.3 信号的基本运算,解法二：先反转，再平移。,要求：根据 的波形画 的波形。,比较而言，解法一（先平移再反转），不易出错。,page44,1.3 信号的基本运算,三. 尺度变换（横坐标展缩）,将 的自变量乘以一个常数 ，所得信号 称为 的尺度变换信号。,是将原信号以原点为基准，沿横轴 压缩至原来的 ；,是将原信号以原点为基准，沿横轴 扩展至原来的 倍；,page45,1.3 信号的基本运算,连续信号的尺度变换示例,page46,1.3 信号的基本运算,离散信号通常不作展缩运算，这是因为 仅在 为整数时才有定义，而当 或 ，且 （ 为整数）时，它常常丢失原信号 的部分信息。,有信息 丢失,page47,1.3 信号的基本运算,有信息 丢失,page48,1.3 信号的基本运算,思考：,已知 的波形，如何画 的波形?,分析：涉及到反转、平移和尺度变换三种运算，理论上 共有6种解法。,page49,1.3 信号的基本运算,例1.3-2 已知 的波形，画出 的波形。,解法三：,page50,1.3 信号的基本运算,解法四：,page51,1.3 信号的基本运算,除画波形的方法以外，也可使用解析式进行求解。,page52,1.3 信号的基本运算,page53,思考：,已知 的波形，如何画 的波形?,分析：涉及到反转、平移和尺度变换三种运算，理论上 共有6种解法。,1.3 信号的基本运算,page54,1.3 信号的基本运算,练习：已知 的波形，画出 的波形。,解法二：,page55,1.3 信号的基本运算,解法六：,page56,1.3 信号的基本运算,思考：,已知 的波形，如何画 的波形?,例：已知 的波形如下，试画出 的波形。,page57,1.3 信号的基本运算,page58,1.3 信号的基本运算,反转、平移、尺度变换的实例：,设 是已录制在磁带上的声音信号，则：,可看作将磁带倒转播放产生的信号。,为延迟了 时间播放的声音信号。,为磁带以二倍速度加快播放的信号。,为磁带放音速度降至一半的信号。,page59,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异 函数。普通函数描述的是自变量与因变量之间的数值 对应关系（如电荷的空间分布，电流、电压随时间变 化的关系等）。但如果要考察某些物理量在空间或时 间坐标上集中于一点的物理现象（如由点电荷构成的 静电场的电荷密度的分布、作用时间趋于零的冲击力 等），此时需用到阶跃函数和冲激函数的概念。,研究奇异函数的性质要用到广义函数的理论。这 里将直观地引出阶跃函数和冲激函数的定义。,page60,1.4 阶跃函数和冲激函数,一. 阶跃函数和冲激函数,我们来讨论这样一个函数：,page61,狄拉克的定义：(2),1.4 阶跃函数和冲激函数,单位阶跃函数：,单位冲激函数：(1),从前面的分析可看出，二者间的关系为：,（或无 定义）,page62,1.4 阶跃函数和冲激函数,思考：,根据高数的知识， 在 的导数是否存在?,在本课程中, 导数是否存在？,page63,1.4 阶跃函数和冲激函数,若冲激不是发生在原点，而是在 ，则记为：,思考： 表示的物理意义？,page64,1.4 阶跃函数和冲激函数,引入阶跃函数后，可简化分段函数的表示。,例：门函数,可简化为：,page65,1.4 阶跃函数和冲激函数,练习：如下图所示的函数,可简化为：,page66,练习：如下图所示的序列,1.4 阶跃函数和冲激函数,可简化为：,page67,1.4 阶跃函数和冲激函数,二. 冲激函数的性质,1. 及其导数与普通函数的乘积,(取样性质),page68,1.4 阶跃函数和冲激函数,上式,page69,1.4 阶跃函数和冲激函数,例1.4-1 分别化简函数 与 和 的乘积。,解：,page70,1.4 阶跃函数和冲激函数,2. 移位,在 处的冲激函数为 。,page71,1.4 阶跃函数和冲激函数,例1.4-2 如图所示，求其导数 。,解：,page72,1.4 阶跃函数和冲激函数,page73,1.4 阶跃函数和冲激函数,求导,page74,1.4 阶跃函数和冲激函数,一般，设 是分段连续函数，它在 处有第一类间断点。【左、右极限均存在】,page75,1.4 阶跃函数和冲激函数,练习：已知 的波形，画出 的波形。,page76,指： ，而非 ，下同,1.4 阶跃函数和冲激函数,3. 尺度变换,page77,指： ，而非 ，下同,1.4 阶跃函数和冲激函数,3. 尺度变换,【复合求导】,page78,1.4 阶跃函数和冲激函数,4. 奇偶性,page79,1.4 阶跃函数和冲激函数,例：化简 。,解：原式,例：化简 。,解：原式,page80,1.4 阶跃函数和冲激函数,练习：化简如下表达式 (1) (2) (3) (4) (5),解：(1),(2),(3),(4),(5),page81,1.5 系统的描述,1.5 系统的描述,描述系统的方法有多种形式：方程描述（输入输出 方程和状态方程两种）、框图描述、冲激响应、频域 响应、信号流图描述、系统函数描述等。,page82,1.5 系统的描述,系统的各种描述方式之间可以相互转换。,对于一个确定的系统，输入输出方程形式唯一，系统 函数唯一， 冲激响应和频域响应唯一，而状态方程、 框图、信号流图均可有多种形式。,page83,1.5 系统的描述,一. 系统的分类,（类似于数电 中的组合电路）,（类似于数电 中的时序电路）,page84,1.5 系统的描述,2. 按响应与激励的信号形式,连续系统,离散系统,混合系统,page85,1.5 系统的描述,本课程主要研究动态、连续/离散、单输入单输出、 线性、时不变系统。,例：如图所示 电路，如果将 看成激励，写出 以 为响应的微分方程。,page86,1.5 系统的描述,解：,page87,1.5 系统的描述,例：在如图所示的力学系统中，质量为 的物体受 外力 的作用将产生位移 。将外力 看作是 系统的激励，位移看作是系统的响应。求解系统所 满足的微分方程。,根据牛顿第二定律，有：,page88,1.5 系统的描述,整理后得：,对比前例：,page89,1.5 系统的描述,例：某人向银行贷款 万元，月息为 ，他定于每月初 还款，设第 月初还款为 万元。若令第 月尚未还 清的钱款数为 万元，则有,page90,1.5 系统的描述,例：设某地区在第 年的人口为 ，人口的正常出生 率和死亡率分别为 和 ，而第 年从外地迁入的净人 口为 ，则该地区第 年的人口总数为,page91,1.5 系统的描述,三. 系统的框图表示,在用方框图描述系统时，常用的基本单元有：,积分器：,page92,1.5 系统的描述,数乘器：,加法器：,page93,1.5 系统的描述,例1.5-1 已知某连续系统的框图，写出对应的微分方程。,解：,page94,1.5 系统的描述,例1.5-2 某连续系统如图所示，写出对应的微分方程。,解：,接下来的任务是消去中间变量 。,page95,1.5 系统的描述,将上三式相加，可得：,page96,1.5 系统的描述,例1.5-3 某离散系统如图所示，写出对应的差分方程。,解：,接下来的任务是消去中间变量 。,page97,1.5 系统的描述,将上三式相加，可得：,page98,1.5 系统的描述,总之，已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤是：,1. 设置中间变量,对连续系统，设最右端积分器的输出为 。,对离散系统，设最左端延迟单元的输入为 。,2. 逐个写出每个加法器所对应的方程。,3. 消去中间变量。,page99,1.5 系统的描述,消去中间变量的简便方法：,最终结果：,page100,1.5 系统的描述,解释：,page101,1.5 系统的描述,page102,1.6 系统的特性和分析方法,1.6 系统的特性和分析方法,对于连续或离散的动态系统 ，按其基本特性 可分为线性系统与非线性系统，时变系统与时不变(非时 变)系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与非稳定系 统等。本课程主要讨论线性、非时变、因果、稳定系统。,page103,1.6 系统的特性和分析方法,page104,设 表示任意常数，则对于线性系统应有：,*,动态系统的响应取决于,输入信号：,初始状态：,这样，动态系统在任意时刻 （或 ）的响应 可以由初始状态 和区间 （或 ）上的激 励 完全确定。,1.6 系统的特性和分析方法,page105,系统的全响应可写为：,根据线性性质，线性系统的响应是 和 分别 单独作用的结果，即：,分解特性,1.6 系统的特性和分析方法,page106,这样，动态系统是线性系统，应满足：,2. 零输入线性：当有多个初始状态 时，零输入响 应对所有的初始状态 呈现线性。,3. 零状态线性：当有多个激励 时，零状态响应对 所有的激励 呈现线性。,总之，一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输 入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page107,例：判断下列系统是否为线性系统。,解：(1) 不满足分解特性，不是线性系统。,(2) 满足分解特性。,满足零输入线性。,不满足零状态线性，所以不是线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page108,(3) 满足分解特性。,满足零输入线性。,不满足零状态线性，所以不是线性系统。,(4) 满足分解特性。,满足零输入线性。,又满足零状态线性，所以是线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page109,例：判断如下微分方程所描述的系统是否为线性系统。,对比(3)和(4), 显然： , 即为非线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page110,思考：微分方程或差分方程应有何特点才为线性系统？,分析：以一般性的线性微分方程为例,1.6 系统的特性和分析方法,page111,设输入为 时, 响应记为 , 则有：,(3),对比(3)和(4), 显然： , 即为线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page112,例：某线性系统, 当激励为 时(当 时， )， 全响应为 ；当激励为 时，其全响应为 。试求在 同样的初始状态下, 当激励为 时的全响应 。,解：根据题意有,联立求解得：,1.6 系统的特性和分析方法,page113,二. 时不变性,对一个系统，若激励在时间上任意的一个平移，都 导致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系 统为时不变系统，否则称为时变系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page114,1.6 系统的特性和分析方法,思考：时变系统有何规律？包括几种情况？,时不变系统特点示例：,page115,例：判断下列系统是否为时不变系统。,解：(1) 当输入为 时，输出为 。,当输入为 时，,输出为 。,时不变,(2) 当输入为 时，输出为 。,当输入为 时，,输出为 。,时变,1.6 系统的特性和分析方法,page116,(3) 当输入为 时，输出为 。,当输入为 时，,输出为 。,时变,1.6 系统的特性和分析方法,page117,(4) 当输入为 时，输出为 。,当输入为 时，,输出为 。,时变,1.6 系统的特性和分析方法,page118,例：判断如下微分方程所描述的系统是否为时不变系统。,对比(1)和(2)，显然有： 。即为时变系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page119,思考：微分方程或差分方程应有何特点才具备时不变性？,分析：以一般性的线性微分方程为例,1.6 系统的特性和分析方法,page120,响应为 。,输入为 时，,当某项系数为变系数（以 为例）时，(1)演变为：,对比前页式(2)，显然有： 。,回答：常系数微分方程或差分方程具备时不变性。,1.6 系统的特性和分析方法,page121,例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为：,(1),(2),式中， 和 为常数， 为初始状态，在 或 时 接入激励 。上述系统是否为线性、时不变系统？,解：(1) 满足分解特性。,满足零输入线性。,满足零状态线性。,故该系统是线性系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page122,当输入为 时，零状态响应为 。,当输入为 时，,输出为 。,令 ，可得：,由于 ，可得：,故该系统是时不变系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page123,(2) 满足分解特性。,满足零输入线性。,不满足零状态线性。故该系统是非线性系统。,故该系统是时不变系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page124,若一个系统既是线性的，又是时不变的，则称该系 统为线性时不变系统(LTI系统, Linear Time Invariant)。,1.6 系统的特性和分析方法,page125,证：以微分性质的证明为例，积分性质的证明过程类似。,根据时不变性质，有：,根据线性性质，有：,取上式中 的极限，有：,1.6 系统的特性和分析方法,page126,例：某LTI系统，在零状态条件下激励 与响应 间的关系如图所示，试求当激励为 时对应的 。,1.6 系统的特性和分析方法,page127,三. 因果性,零状态响应不出现于激励之前的系统（或任一时刻 的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将 来时刻的输入值无关），称为因果系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page128,对任意时刻 或 和任意输入 , 如果,若系统的零状态响应满足,则称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。,思考：考察以下系统是否为因果系统?,显然都是因果系统。(输入可以阶跃信号或阶跃序列为例),1.6 系统的特性和分析方法,page129,思考：考察以下系统是否为因果系统?,1.6 系统的特性和分析方法,故该系统是非因果系统。,page130,设激励信号在 时刻接入，即 。,因果信号： 时接入的信号。（即： ）,1.6 系统的特性和分析方法,故该系统是非因果系统。,以输入为阶跃信号为例：,page131,四. 稳定性,对有界的输入 ，若系统的零状态响应 也是 有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定系统，简称 稳定系统。,更确切地说，若系统的激励 时，若其零状 态响应 ，则称该系统是稳定的；否则称为不稳 定系统。,显然，实际系统应被设计为稳定系统。否则，一个 很小的激励（如干扰电压）就可能使系统的响应发散。,1.6 系统的特性和分析方法,page132,例： 所对应的系统是否稳定？,故该系统是稳定系统。,例： 所对应的系统是否稳定？,解：设 ，显然有 。,显然当 时， 。,故该系统是不稳定系统。,1.6 系统的特性和分析方法,page133,五. LTI系统分析方法概述,系统分析就是建立表征系统的数学方程式并求解。,系统的输入 输出描述是对给定的系统建立其激励 与响应之间的直接关系。描述LTI系统的是常系数线性 微分方程或差分方程。输入 输出法可以直接给出某一 激励作用下系统的响应。但它没有从系统内部去考察系 统的各种问题，在这方面，状态变量法有