“数感”及其形成与发展

“数感”及其形成与发展徐文彬 喻平尽管义务教育数学课程标准及其实施（比如，教科书的编写、课堂教学、甚至教学评价等）都强调了“数感”及其重要性，但是在认识上却存在着诸如简单化、泛化、混淆、借用、甚至神秘化等问题。因此，在明确“数感”的基本含义及其特征的基础上，探讨“数感”的形成与发展，应该是发展学生“数感”的理论认识前提和现实条件；更是在“数感”基础上进一步发展学生“符号感”，乃至数学观的必由之路。一、何谓“数感”一旦论及感觉、直觉等与创造性或问题解决相关的问题时，很多人就会有一种莫名的神秘感。其实，“数感”并不是什么神秘的东西，它只是我们对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解决数字问题的能力。学生具有“数感”的典型特征就是他们能够对其所面对的数字模式、数字关系和计算过程进行归纳，并能够把新知识和已有知识联系起来1。但是，在我国数学教育理论界，却存在着一些关于“数感”的不恰当、甚至错误的认识，而这些“误解”必然会误导数学教育实践。为了澄清这些“误导”，就必须首先剖析这些“误解”，并追问其发生的认识论根源。譬如，有论者认为：“数感是对数的感悟。感是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既含有感知的成分又有思维的成分。”2但是，唯物认识论却认为，如果要想从根源上来认识认识和思维，那么，其根源就是感觉，而感觉与知觉（统称为“感知”）则是认识和思维的初级阶段之具体形式。认识和思维是主体与客体之间的一种关系，离开了客体，认识与思维是不存在的；即使是以认识与思维本身为认识与思维对象的认识与思维即反思，它也是思维着的思维、或者认识着的认识与被思维的思维、或者被认识的认识之间的主体与客体之间的关系。因此，现实的人类“大脑思维”就不仅仅是自身的：它既是主体自身的、又是主体客体化的。总之，意识必然是思维的，“数感”也必然是思维的：只“通过肢体而不通过大脑思维的”肯定小可能是“数感”，也不可能是人的反应性，它只可能是“物质的反应性”。由此可见，上述关于“数感”的所谓“感悟说”既割裂了人的感性认识与理性认识之间的联系，又简单地把两者粘贴为“数感”。与此相近的认识还有：“从知识的角度来看，数感包括感觉、知觉、观念或是能力等，并可用知识来统一解释。因此，数感是一种程序性知识，数感又主要是一种内隐性知识，数感又主要是一种非结构性知识。”3再譬如，有论者认为4：“狭义的数感就是数字感，即人脑对于数字或数字运算定律的直觉；广义的数感就是数学感，即人脑对于数学对象的直觉。而且数感还具有3个基本特征：直觉性非逻辑性、自动性，内隐性理解性、抽象性、实用性，发展性天赋性、层次性、可学性。”显而易见，该论者泛化了“数感”的概念及其内容，而且还可以看出其直接借用人们对“美感”理解的痕迹。因此，这种关于“数感”的所谓“直觉说”既不利于我们对“数感”的认识，又无助于我们对学生“数感”的培育。至于其所归纳的“数感”的3个基本特征则不仅需要进一步的实证研究来加以证实或者证伪，而且还存在一些概念间逻辑关系混淆的问题需要澄清：直觉性、发展性和内隐性之间是什么关系？发展性中的天赋性与可学性又是什么关系？持“直觉说”的论述还有：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。”5“数感”是一种类似于“语感”“方向感”“美感”和“质感”等（关于数）的“直感”6。还有论者认为：“数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。”7而且这种“敏感与一般理解”具有如下一些特点7：“(1)这种敏感与理解是对数字（量）的直觉，它帮助人们对数字（量）的直感迅速地反应为数学问题，使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维；(2)这种敏感与理解是关于数概念的网络结构：(3)这种敏感与理解具有非算法性、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反应时间短，稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按钮，其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关。”这种关于“数感”的所谓“敏感说”具有某种神秘性：“一种敏感”“一般理解”等语义不清，容易让人“浮想联翩”；而且还存在着泛化的倾向：把对“数概念的扩展”无限推延至“对数学的一种敏感与一般理解”。我们可以设想，如果人们真能够在数概念的扩展中产生所谓的“对数学的一种敏感与一般理解”，那么这种敏感与理解就不可能是“数感”，而更可能是数学观。由此可见，该论者混淆了“数感”与数学观。其实，“数感”可能是数学观的一个有机构成，但绝不可能是数学观本身。至于其所归纳的“数感”所具有的特点则需要更加严格的数学教育心理学等（实验）研究来加以证实或者证伪。具体而言，“数感”包括“对数字关系和数字模式的意识”，以及运用这种对数字关系和数字模式的意识“灵活地解决数字问题的能力”两个部分内容；其核心是指计算策略中的灵活性和创造性，而非“没有思维的”计算程序。由此可见，“数感”不仅强调要培养学生的数学理解力，而且强调要培养其积极的学习态度与信心；“数感是一种主动自觉地或自动化地理解和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。”与此同时，“建立数感可以理解为会数学地思考”8。因此，数感体现的是应用数字的倾向和能力，以及作为交流、加工、解释信息的量化方法。数感导致人们期待数学有某种规则9。二、何以形成“数感”“数感”主要在三个领域中起作用：(1)数字知识和数字的简便性；(2)运算知识和运算的简便性；(3)把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中9。因此，我们可以从上述这三个领域来思考“数感”的形成问题。1.从“数字知识和数字的简便性”来看“数感”的形成单个数字的识别与学习，是数字知识积累的最初形式。但是，数字的顺序感可能更为重要：，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，或者反过来。而“计数”并非仅仅是指学生们最早体验到的“单向”计数，而是可以以任何“合适”的方式来进行：可用2，5，10，100（其实也不排除用3，4，6，7等）等为间隔来计数，可以从任何一个数字开始向前或向后“数”在这种“计数”过程中，既可以形成数字的顺序感、又可以感觉到多样化的数字的呈现方式，以及数字相对与绝对数量的判断和思考数字的基准参考体系。当这些数字关系和数字模式与算术运算相联系的时候，这些数字关系和数字模式就能够促使学生们找到有效的计算策略，从而促进其“数感”的形成与发展。“数感”是高度个性化的产物。因为“数感”不仅和学生已有的数字概念相联系，而且也与怎样形成这些数字概念相联系。因此，随着学生们对已知数字事实及其之间的相互关系了解的深入，他们的“数感”也会得到进一步的发展。在这里，数字应用的不同方式，以及数字应用之间的关系的意识与辨别等，是学生形成“数字知识和数字的简便性”、以及运用“数感”的关键之所在。2.从“运算知识和运算的简便性”来看“数感”的形成“数感”也是一种运用数字和运算法则进行灵活运算的能力。数字与计算之间的联系对学生形成“数感”具有重大的影响。美国学校数学教育的原则与标准也认为，（数与运算）“这一标准的中心是培养学生的数感(NumberSense)，就是用100或1/2这样特定的数作参考自然地分解数字的能力，运用从算术运算到问题解决间关系的能力，理解十进制数的能力，估算能力，理解数字含义的能力，以及对数的绝对和相对大小的辨认能力”10。我国学者对“数感与估算之间的关系”也进行过实证研究11：“数感只是在一定程度上依赖于估算，同时它也受问题特点等诸多因素的影响；不同估算能力下的儿童在做数感类题时使用的策略相当多，而且有所偏重，但大多数情况下都选择有效性中等水平的策略；不同估算水平熟练程度的儿童在对数感错误类型的影响（方面）存在较为明显的差异。”这项研究结果告诉我们，“数感”的形成与“估算”之间不是一个简单的一一对应关系，而是有着非常复杂的非线性关系。但是，就“运算知识和运算的简便性”而言，其核心应该是，理解运算结果，意识到所运用的运算规则，以及运算之间的关系。对运算结果的理解可能意味着对“标准运算程序”的掌握甚至熟练：而对所运用的运算规则的意识则更加意味着对“标准运算程序”的熟悉甚至对不同“标准运算程序”之间关系的意识与辨别；对各种运算之间的关系的意识则必然意味着对所运用的运算规则的“烂熟于心”，而且还可能意味着对数字关系和数字模式与运算程序之间关系的把握。由于“运算知识和运算的简便性”主要来自对运算的标准程序的熟悉和不同标准运算程序之间关系的比较、意识与辨别，所以，应用标准的计算程序可能不如根据“数感”来选择适合的计算策略更为快捷与有效。反之，在一定程度上，计算策略的快捷与有效也反映了“数感”的形成状态与发展水平。3.从“把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中”来看“数感”的形成由此可见，“数感”的形成是一个“对数字关系和数字模式的意识”与运用这种意识“灵活地解决数字问题的能力”相互影响甚至相互制约的动态过程：互为基础、互为补充、互相促进、共同发展，并进而促使学生一般数学能力（即我们通常所指的3大能力：计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力）得到提升。在解决“需要用数字进行推理的问题”时，关键是要在整合“数字知识和数字的简便性”与“运算知识和运算的简便性”的基础上，形成或获得以下这些理解力、意识和倾向：(1)理解问题情境与合适的解题策略之间的关系；(2)意识到存在多样化的数字呈现方式；(3)应用有效呈现和（或）方法的倾向；(4)检验数据和结果的倾向。“理解问题情境与合适的解题策略之间的关系”是实际解决“数字推理”问题的第一步，而这就需要对问题所蕴含的数字模式或关系与数字运算之间关系的意识与辨别。但是，仅仅如此还不够。因为如果没有合适的“数字呈现方式”，问题的解决也可能只存在于构想的思想当中，而不是实现于实际的具体运算操作程序当中。要做到实际地解决问题就需要对同样的数字及其关系的不同呈现方式的比较、意识与选择，以及应用有效呈现和（或）方法的倾向。在具体实施所选择的解决问题的策略之前甚至当中，由于我们无法保证实际解决结果的正确性和完备性，所以，“检验数据和结果的倾向”应该是一个不可或缺的必要环节。在解决“数字推理”问题当中，如果我们还能够意识到算术（运算）的“代数性质”即“准变量”及其表达式12、并自觉地运用这种意识于“数感”的形成当中，那么，我们就由此而迈开了由“数感”向“符号感”发展的步伐，并在这个发展过程中体会到众多的数学思想，譬如，推广的思想、转化的思想、抽象化的思想、概括化的思想、化归的思想等等。表1即是一个反映“符号感”的形成状态与发展水平的研究实例，它是南京师范大学数学专业67名4年级学生对“（n+1）2-n2”的鉴赏结果统计表13。表1学生对“（n+1）2-n2”的鉴赏结果统计注：这里的鉴赏结果其实反映了鉴赏者对“（n+1）2-n2”的意识以及运用这种意识的能力，即“符号感”。三、何以发展“数感”由上述分析可知，培育和发展学生“数感”的关键是，从熟悉“相互独立的”标准的计算程序到辨别数字模式和数字关系，并在这两者之间建立起联系。1.从熟悉“相互独立的”标准计算程序到辨别数字模式和数字关系有关研究表明：尽管在数学能力上存在“7年间隔”现象14，即一些小学高年级11岁的学生表现出的数学能力并不比7岁孩子的平均能力强，而其他一些11岁的学生则表现出14岁孩子的平均能力。但却不能因此给某些学生加之以数学“学习迟钝者”的称谓。因为这些所谓数学“学习迟钝者”可能因辨别不出数字之间的相互关系而导致他们最终不得不学习更多的、“没有思维的”、相互独立的计算程序15。由此可见，如果不能够形成对数字之间的相互关系或模式的意识与辨别，那么，对“没有思维的”、相互独立的、“标准”计算程序掌握得再多、再熟练，也不可能提高学生的一般数学能力。因此，如何引导学生从对“相互独立的”标准计算程序的熟悉，发展至对其间的数字模式和数字关系的辨别，是培养学生“数感”的关键与基础。通过逻辑推断和比较分析，学生们可以体验到“标准计算程序”中潜在的数字结构，而这种数字结构则把数字计算和数字模式与数字关系联系在一起。此外，发生思考与相互交流（尤其是同学之间的）也可以促使学生观察、比较、归纳不同的“标准计算程序”，及其与非“标准计算程序”之间所蕴涵的数字结构而这同样也把数字计算和数字模式与数字关系联系在一起。正是在这些逻辑推断和比较分析，以及发生思考与同学间的相互交流活动中，学生们开始理解数字和数字结构所起的不同作用，并进而发展其“数感”。因此，尽管学生们可能学会了使用若干标准的计算程序，但是，能够灵活应用不同方法（尤其是非“标准计算程序”方法）进行数字计算则是其发展“数感”的必要条件。2.建立“标准计算程序”与“数字模式和数字关系”之间的联系在“标准计算程序”与“数字模式和数字关系”之间建立联系的有效方法可能是，在数字计算和数字推理中运用“估算”与猜测策略，以及算法（尤其是非“标准计算程序”算法）多样化策略。首先，因为“估算”与猜测在数字计算与数字推理中的运用本身就意味着数字模式和数字关系的存在（因为“估算”与猜测不是毫无目的瞎想，而是依赖于一定数字模式和数字关系的思维延续），而有意识的运用则更加深化了学生对这种数字模式与数字关系的理解，以及对（数字）运算规律的意识与运用。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。其次，多样化的思想既肯定了“标准计算程序”的合理性与多样性，也保证了非“标准计算程序”的存在性与合法性，并促使学生形成对“标准计算程序”的相对性（甚至其社会、历史、文化性）的意识与理解。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼