“概率”教学中的几个问题

“概率”教学中的几个问题中学数学杂志(初中)2019年第8期刊登了陈明儒老师的文章初中概率题为什么颇有争议,读后深受启发,也深有同感,不少老师和同学在进行用列举法求概率教学时,感到对有些问题的认识不是很透彻,容易引起争议,下面就列举几个这方面的问题供大家借鉴1排列与组合问题虽然初中数学没有系统讲排列组合的相关知识,但概率中不少的问题与排列组合有关,作为老师应该明白,有些问题可以直接运用排列组合解决,而有些问题不能直接套用排列组合的结论,只能借鉴的思想方法才能解决问题案例1 (1)口袋中装有4个小球,一次摸出2个,共有多少种等可能？(2)同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有多少种等可能？分析 (1)(2)看起来好象都是“4个中任选2个”的排列组合问题,其实它们有本质的区别.根据排列(组合)公式,4个中任选2个,共有12种排列(或6种组合).对于事件“口袋中装有4个小球,一次摸出2个”,每个可能的结果都是独立的,符合“4个中任选2个”的特征,适合直接用排列组合的结论.而“抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面的可能性”, 不符合“4个中任选2个”的特征,因此不能直接用排列(组合)的结果来确定“等可能”的多少,但可借鉴排列组合的方法进行分析设两枚硬币的正反面分别用正1、正2、反1、反2表示用“排列”方法分析：首先,根据排列公式,4个中任选2个,共有12种排列(正1,正2)、(正1,反1)、(正1,反2)、(正2,正1)、(正2,反1)、(正2,反2)、(反1,正1)、(反1,正2)、(反1,反2)、(反2,正1)、(反2,正2)、(反2,反1)其次,排除4种不符合实际的情况：(正1,反1)、(正2,反2)、(反1,正1)、(反2,正2),还有8种排列最后得出结论：同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面共有8种等可能用“组合”方法分析：首先,根据组合公式,4个中任选2个,共有6种组合(正1,正2)、(正1,反1)、(正1,反2)、(正2,反1)、(正2,反2)、(反1,反2)其次,排除2种不符合实际的情况：(正1,反1)、(正2,反2),还有4种组合最后得出结论：同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面共有4种等可能这里,出现了两种不同的结果：“同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有4种等可能结果”, “同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有8种等可能结果”.究竟是4种还是8种？可以说这两种说法都有一定的道理,但单纯谈“某一事件的所有等可能结果有多少种”并没有多大意义,它应与“在这些等可能结果中有多少种可能是符合题目要求”相结合才有意义.对于这一点,在本文案例2的阐述会更加清晰.由此看来“同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有四种可能：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)”是从组合的角度而言的,把它说成“有(正,正)、(正,反)、(反,反)三种可能”既不是依据“排列”也不是依据“组合”,是完全错误的2 两种列举方法树状图、列表法树状图和列表法都是用来列举某一事件所有可能的结果,但要根据事件的类型选择恰当的方法树状图：顾名思义借用树木的生长形象地表示事件发生的前后顺序.“树状图”一般表示“事件按先后顺序发生”类的问题,用“树状图”进行列举时,关键是按事件发生的先后顺序分为几个步骤,按步骤画图.对于“事件同时发生”类的问题,在不改变其本质属性的前提下,若能转化“事件按先后顺序发生”类,则也可用“树状图”表示列表法：由于表格的局限性,列表法适合“两个事件同时发生”或“一个事件发生先后只有两个步骤”这一类的问题.对于“三个或三个以上事件同时发生”或“一个事件发生有三个或三个以上步骤”的事件,用列表法就不能很好地列举“所有可能的结果”,而树状图就没有这些限制3 事件的“所有等可能结果”的两种计数方法：在概率中,“所有等可能结果”的计数方法,可用“排列”的结果,也可用“组合”结果案例2 四只粽子,除内部馅料不同外其他均一切相同：一只肉馅,一只香肠馅,两只红枣馅(1)用画树状图法分别求出“吃两只粽子正好是一只肉馅,一只香肠馅的概率”和“吃两只粽子正好是先吃到肉馅,后吃到香肠馅的概率”；(2)用列表法求出“吃两只粽子正好是一只肉馅,一只香肠馅的概率”要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。解 (1)画树状图法单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒