矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案.pdf

习题 1解答 1写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 习题 1解答 1写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xat ybtcos ,sin 2xt yt zt3sin ,4sin ,3cos 解： 1 ratibtjcossin，其图形是xOy平面上之椭圆。 2 rtitjtk3sin4sin3cos， 其 图 形 是 平 面430xy与 圆 柱 面 222 3xz之交线，为一椭圆。 2设有定圆2设有定圆O与动圆与动圆c，半径均为，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。所描曲线的矢量方程。 解：设M点的矢径为OMrxiyj ，AOC，CM 与x轴的夹角为 2；因OMOCCM 有 rxiyjaiajaiaj2 cos2 sincos 2sin 2 则.2sinsin2,2coscos2aayaax 故jaaiaar)2sinsin2()2coscos2( 4求曲线4求曲线 32 3 2 ,tztytx的一个切向单位矢量的一个切向单位矢量。 解：曲线的矢量方程为 ktjttir 32 3 2 则其切向矢量为 kttji dt dr 2 22 模为 242 21441|ttt dt dr 于是切向单位矢量为 2 2 21 22 |/ t kttji dt dr dt dr 6求曲线6求曲线xat yat zat 2 sin,sin2 ,cos ,在在t 4 处的一个切向矢量。处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为r ati atj atk 2 sinsin2cos 2 切向矢量为 r atiatj atk t d sin22 cos2sin d 在t 4 处， t r a iak t 4 d2 d2 7.求曲线7.求曲线ttztytx62 , 3 4, 1 22 在对应于在对应于2t的点 M 处的切线方程和 法平面方程。 的点 M 处的切线方程和 法平面方程。 解：由题意得),4, 5 , 5( M曲线矢量方程为,)62() 34() 1( 22 kttjtitr 在2 t的点 M 处，切向矢量kjiktjti dt dr t t 244)64(42 2 2 于是切线方程为 1 4 2 5 2 5 , 2 4 4 5 4 5 zyxzyx 即即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2zyx，即 01622zyx 8求曲线8求曲线rtit jt k 23 上的这样的点，使该点的切线平行于平面上的这样的点，使该点的切线平行于平面xyz24。 解：曲线切向矢量为 dr itjt k dt 2 23 ， 平面的法矢量为nijk2 ，由题知 itjt knikttj 22 1432230 得t 1 1, 3 。将此依次代入式，得 kjikji t t 27 1 9 1 3 1 |,| 3 11 故所求点为 1 11 1,11 , 3 927 习题 2解答 1说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 习题 2解答 1说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 1u AxByCzD 1 ; 3 2 z uarc xy 22 sin 解： 1场所在的空间区域是除AxByCzD0外的空间。 等值面为 0 11 1 1 C DCzByAxC DCzByAx 或或为任意常数）（0 1 C， 这是与平 面AxByCzD0平行的空间。 2场所在的空间区域是除原点以外的zxy 222 的点所组成的空间部分。 等值面为)0( ,sin)( 222222 yxcyxz， 当csin0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当csin0 时，是除原点外的xOy平面。 2求数量场2求数量场 xy u z 22 经过点经过点M 1,1,2的等值面方程。的等值面方程。 解：经过点M 1,1,2等值面方程为 xy u z 2222 11 1 2 ， 即zxy 22 ，是除去原点的旋转抛物面。 3已知数量场3已知数量场uxy ，求场中与直线，求场中与直线xy240相切的等值线方程。相切的等值线方程。 解：设切点为xy 00 ,，等值面方程为xycx y 00 ，因相切，则斜率为 2 1 0 0 x y k，即 00 2yx 点xy 00 ,在所给直线上，有 xy 00 240 解之得yx 00 1,2 故2 xy 4求矢量4求矢量 222 Axy ix yjzy k的矢量线方程。的矢量线方程。 4 解矢量线满足的微分方程为 A dr0， 或 dxdydz xyx yzy 222 有., z dz x dx ydyxdx 解之得),( , 21 2 1 22 为任意常数为任意常数CC xCz Cyx 5.求矢量场5.求矢量场zkyxjyixA)( 22 通过点通过点M) 1 , 1 , 2(的矢量线方程。的矢量线方程。 解矢量线满足的微分方程为. )( 22 zyx dz y dy x dx 由 1 22 11 C yxy dy x dx 得得， 按等比定理有, )( )( 22 zyx dz yx yxd 即. )( z dz yx yxd 解得. 2z Cyx 故矢量线方程为 zCyx C yx 2 1, 11 又)1 , 1 , 2(M求得1, 2 1 21 CC 故所求矢量线方程为.2 111 zyx yx 习题 3解答 1求数量场 习题 3解答 1求数量场 232 2ux zy z在点在点2,0, 1M 处沿处沿lxixy jz k 24 23的方向导的方向导 数。数。 解：因 M M lxixy jz kik 24 2343，其方向余弦为 . 5 3 cos , 0 cos, 5 4 cos 在点)1, 0 , 2( M处有,1223 , 0 4 , 4 2 2223 yzx z u yz y u xz x u 所以412 5 3 00)4( 5 4 l u 5 2求数量场2求数量场 22 3ux zxyz在点在点1, 1,1M 处沿曲线处沿曲线 23 ,xt ytzt 朝朝t 增大一方的方向导数。增大一方的方向导数。 解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点 M 所对应的参数为1 t,从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为 33,22, 1 1 2 1 t M t MM t dt dz t dt dy dt dx ， 其方向余弦为. 14 3 cos, 14 2 cos, 14 1 cos 又5)23(, 1, 7)6( 2 M M M M M M zx z u x y u yxz x u 。 于是所求方向导数为 14 24 14 3 5 14 2 )1( 14 1 7)coscoscos( M M z u y u x u l u 3求数量场3求数量场 23 ux yz 在点在点2,1, 1M 处沿哪个方向的方向导数最大？处沿哪个方向的方向导数最大？ 解：因 u ulu l 0 grad grad cos ， 当 0 时，方向导数最大。 ,1244)32( )(u grad 22323 kjikyzxjzxixyz k z u j y u i x u M M M 即函数u沿梯度kji M 1244u grad方向的方向导数最大 最大值为114176u grad M 。 4.画出平面场4.画出平面场)( 2 1 22 yxu中中2 , 2 3 , 1 , 2 1 , 0 u的等值线，并画出场在的等值线，并画出场在)2 , 2 ( 1 M与点与点 )7 , 3 ( 2 M处的梯度矢量，看其是否符合下面事实： （1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小； （2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实： （1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小； （2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。增大的方向。 6 解：所述等值线的方程为： , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 22 2222 2222 yx yxyx yxyx 其中第一个又可以写为 0 , 0 yxyx为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线 （如下图, 图中,u grad 1 1 M G ,u grad 2 2 M G ） 由于,u yjxigrad 故 ,22u grad 1 ji M ,73u grad 2 ji M 由图可见，其图形都符合所论之事实。 5用以下二法求数量场5用以下二法求数量场uxyyzzx在点在点1,2,3P处沿其矢径方向的方向导数。处沿其矢径方向的方向导数。 1直接应用方向导数公式；直接应用方向导数公式； 2作为梯度在该方向上的投影。 解： 作为梯度在该方向上的投影。 解： 1点 P 的矢径点 P 的矢径,32kjir其模其模.14 r其方向余弦为其方向余弦为 . 14 3 cos, 14 2 cos, 14 1 cos又又 3)(, 4)(, 5)( P P P P P P yx z u zx y u zy x u 所以所以 。 14 22 14 3 3 14 2 4 14 1 5 )coscoscos( P P z u y u x u l u 2,345)(u gradkjik z u j y u i x u P P 7 . 14 3 14 2 14 1 0 kji r r r 故故。 14 22 14 3 3 14 2 4 14 1 5u grad 0 r l u P P 6，求数量场6，求数量场zyxxyzyxu62332 222 在点在点)0 , 0 , 0(O与点与点)1 , 1 , 1(A 处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0？处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0？ 解：,)66()24(32u kzjxyiyxgrad）（）（ ,036u grad,623u gradkjikji AO 其模依次为：其模依次为：53036, 7)6()2(3 222222 于是 O u grad的方向余弦为. 7 6 cos, 7 2 cos, 7 3 cos A u grad的方向余弦为 . 0 cos, 5 1 cos, 5 2 cos 求使求使0u grad之点，即求坐标满足 066 , 0 24 , 0 32 z xy yx 之点，由此解得 1, 1 , 2 zyx故所求之点为).1 , 1 , 2( 7通过梯度求曲面7通过梯度求曲面42 2 xzyx上一点上一点)3 , 2, 1( M处的法线方程。处的法线方程。 解：所给曲面可视为数量场xzyxu2 2 的一张等值面，因此，场的一张等值面，因此，场u在点在点 M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 ,222)22(u grad 2 kjixkjxizxy M M 故所求的法线方程为. 2 3 1 2 2 1 zyx 8求数量场8求数量场 22 352uxyz在点在点1,1,3M处等值面朝处等值面朝Oz轴正向一方的法线方轴正向一方的法线方 向导数向导数 u n 。 8 解：因 uuu uijkxiyjk xyz grad 6102 uijk M grad 6102 梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为 u u n grad 2 35 习题 4 1.设 S 为上半球面 习题 4 1.设 S 为上半球面),0( 2222 zazyx求矢量场求矢量场zkyjxir向上穿过 S 的通量向上穿过 S 的通量 。 【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】。 【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】 解： .22 32 aaadSadSrdSrdSr SSS n S 2.设 S 为曲面2.设 S 为曲面),0( 2222 hzazyx求流速场求流速场kzyxv)(在单位时间内下 侧穿 S 的流量 Q。 在单位时间内下 侧穿 S 的流量 Q。 解： ,)()( 22 DS dxdyyxyxdxdyzyxQ 其中 D 为 S 在 xOy 面上的投 影区域：. 22 hyx用极坐标计算，有 D rdrdrrrQ)sincos( 2 2 0 2 2 3 0 322 2 0 . 2 1 43 )sin(cos)sincos(hd hh drrrrd h 3.设 S 是锥面3.设 S 是锥面 22 yxz在平面在平面4 z的下方部分，求矢量场的下方部分，求矢量场zkyzjxziA34向向 下穿出 S 的通量下穿出 S 的通量 。 解：略 4.求下面矢量场 A 的散度。4.求下面矢量场 A 的散度。 （1）（1）;)()()( 323 kxyzjxzyiyzxA （2）（2）;)2()3()32(kxyjzxiyzA 9 （3）（3）.)cos()sin1(jyyxixyA 解： （1） 22 323 Adivzyx （2）0 Adiv （3）1sincos Adivyxxy 5.求5.求 Adiv在给定点处的值： （1）在给定点处的值： （1）处；在点处；在点)1, 0 , 1(MA 333 kzjyix （2）（2）处；在点处；在点)3 , 1 , 1(M24A 2k zxyjxi （3）（3）处；在点处；在点)2 , 3 , 1(M)(Azkyjxirxyzr 解： （1）6)333( Adiv 222 M M zyx （2）8)224( Adiv MM zx （3）r(xyz)r xyzdiv Adivgrad)()(3zkyjxixykxzjyzixyz xyz6 ，故366 Adiv MM xyz。 6.已知6.已知,2, 232 yzkxzjixAzxyu求求(uA) div。 解： Adivyx22 kzxyjxyzizyugrad 22332 32 故 (uA) divAugradAudiv )2)(32()22( 22233232 yzkxzjixkzxyjxyzizyyxzxy 3342322332322 6222zxyyzxzyxzyxzyx .283 42332322 yzxzyxzyx 7求矢量场 A 从内穿出所给闭曲面 S 的通量7求矢量场 A 从内穿出所给闭曲面 S 的通量 ： （1） ： （1）;, 2222333 azyxSkzjyixA为球面为球面 （2）（2） . 1 ,)()()( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x SkyxzjxzyizyxA为椭球面为椭球面 解： （1） AdVdivdSA s dVzyx)(3 222 10 其中 为 S 所围之球域 2222 azyx今用极坐标 cos,sinsin,cossinrzryrx计算，有 5 2 000 422 5 12 sin3sin3adrrddddrdrr a （2） S dSA AdVdiv abcabcdV4 3 4 33。 习题五 1 求一质点在力场1 求一质点在力场xkzjyiF的作用下沿闭曲线的作用下沿闭曲线,sin,cos:taytaxl )cos1(taz从从 20tt到到运动一周时所做的功。运动一周时所做的功。 解：功 ll xdzzdyydxdlFW dtttattata 2 0 2222 sincoscos)cos1(sin 2 2 0 2 2)sincoscos1(adtttta 2.求矢量场2.求矢量场)( 为常数为常数CCkxjyiA沿下列曲线的环量： （1）圆周 沿下列曲线的环量： （1）圆周0, 222 zRyx； （2）圆周 ； （2）圆周0,)2( 222 zRyx。 解： （1）令 cosRx ，则圆周0, 222 zRyx的方程成为 0,sin,coszRyRx，于是环量 .2)cossin( 2 2 0 222 ll RdRRCdzxdyydxdlA （2）令 cos2Rx，则圆周0,)2( 222 zRyx的方程成为 0,sin , 2 coszRyRx，于是环量 ll dRRRCdzxdyydxdlA 2 0 22 cos)2cos(sin 2 2 0 2 2)cos2(RdRR 11 3.用以下两种方法求矢量场3.用以下两种方法求矢量场kxyzjzxyiyzxA)()()(在点在点 M（1,2,3）处沿方 向 ）处沿方 向kjin22 的环量面密度。 （ 的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （ ）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。）作为旋度在该方向上的投影。 解： （1）, 3 2 3 2 3 1 0 kji n n n故n的方向余弦为. 3 2 cos, 3 2 cos, 3 1 cos 又)(),(),(xyzRzxyQyzxP根据公式，环量面密度 Myxxzzy M n PQRPQRcos)(cos)(cos)( 3 19 3 6 3 8 3 5 3 2 )( 3 2 )( 3 1 )( M yxzxyz (2),345)()()( A M kjikyxjzxiyzrot M 于是 ) 3 2 3 2 3 1 ()345( A 0 M kjikjinrot M n 3 19 3 6 3 8 3 5 4用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1） 4用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）;2)()3( 232 xyzkjxzyizyxA （2）（2）; 222 kxyjzxiyzA （3）（3）.)()()(kzRjyQixPA 解： （1）解： （1）, 222 23 136 22 2 xyxzyz xzyz xxy DA故有故有,)38 (236 Adiv 2 yyxxyyxy Arot.)3()21 (4 22 kxzjyzxzi （2）, 02 02 20 2 2 2 xyy xxz yzz DA故有故有 Adiv , 0 000 Arot.)2 ()2 ()2 (kzxzjyzyixyx 12 （3）, )(00 0)(0 00)( zR yQ xP DA故有故有 Adiv).()()( zRyQxP Arot0。 5.已知已知, 222 kyjxizAeu xyz 求求uA. rot 解：Aurotu gradrotA uA , , 020 002 200 y x z DA有有,222 Axkzjyirot ),222 (rotA xkzjyieu xyz ),(u gradxykxzjyzie xyz A u grad ,)()()( 323232 222 kxzyzxjzyxyziyxzxye yxz xyxzyz kji e xyzxyz )2 ()2 ()2(uA 323232 kxzyzxxjzyxyzziyxzxyyerot xyz 6.已知已知,4,23 22 kixBxykjzyiA求求B).(A rot 解：.2)12(8 40 23 2232 2 2 kzxjyyxiz x xyzy kji BA , 404 0123 1600 )( 22 32 zxxz xyx z BAD 故有故有.3)4(43)164(0B)(A 222 ykxjxzzykxjzxzirot 习题六习题六 1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1） 证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1）;sincoscoszkxyjxxyiyA （2）（2）.)sincos2()sincos2( 22 jyxxyixyyxA 解： （1）记.sin,cos,coszRxyxQxyyP 13 则0)sin(cos)sin(cos00 A kxyxyxyxyxyxyji RQP zyx kji rot 所以 A 为有势场。下面用两种方法求势函数v： 0 1公式法： 1 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,(CdzzyxRdyyxQdxxPv xyz 1 000 sincos0Czdzxydyxdx zyx .sincos1cossin0 1 CxyzCzxy 0 2不定积分法：因势函数v满足vgradA ，即有 ,sin,cos,coszvxyxvxyyv zyx 将第一个方程对x积分，得),(sinzyxyv 对y求导，得),(cos zyxyxvy y ，与第二个方程比较，知 , 0 ),( zyy 于是),(),(zzy从而).(sinzxyv 再对z求导，得),( zvz与第三个方程比较，知zzsin)( ，故.cos)(Czz 所以.sincosCxyzv （2）记 . 0 ,sincos2,sincos2 22 RyxxyQxyyxP 则 0)sin2sin2()sin2sin2(00 A kxyyxyxxyji RQP zyx kji rot 所以 A 为有势场。下面用两种方法求势函数v： 0 1公式法：CdzzyxRdyyxQdxxPv xyz 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,( Cdzdyyxxyxdx zyx 00 2 0 0)sincos2(2 .coscoscoscos 222222 CyxxyCxyxxyx 0 2不定积分法：因势函数v满足vgradA ，即有 , 0 ,sincos2,sincos2 22 zyx vyxxyvxyyxv 14 将第一个方程对x积分，得),(coscos 22 zyxyyxv 对y求导，得),(cos2sin 2 zyxyyxvy y ，与第二个方程比较，知 , 0 ),( zyy 于是),(),(zzy从而).(coscos 22 zyyxv 再对z求导，得),( zvz与第三个方程比较，知0)( z ，故.)(Cz 所以.coscos 22 Cxyyxv 2.下列矢量场 A 是否保守场？若是，计算曲线积分2.下列矢量场 A 是否保守场？若是，计算曲线积分dlA l ： （1） ： （1）kyxzjzxizxyA)3()3()6( 222 ，l的起点为的起点为),1 , 0 , 4(A终点为终点为 );1, 1 , 2( B （2）（2）kzyxjyzxziA)12(22 222 ，l的起点为的起点为),1 , 0 , 3(A终点为终点为).3 , 1 , 5 ( B 解： （1）, 613 106 366 2 2 xzz x zxy DA有 , 0)66 ()33 ()1() 1( A 22 kxxjzzirot 故A为保守场。因此，存在 udlA的原函数的原函数。按公式 xyz dzzyxRdyyxQdxxPu 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,( ,3)3(30 32 0 2 0 2 0 yzxzyxdzyxzdyxdx zyx 于是 7)3( )1, 1 ,2( )1 ,0,4( 32 B A l yzxzyxdlA。 （2）, 242 420 202 2 2 yyzx yzz xz DA有, 00)22 ()44 ( Akjxxiyzyzrot故A为保 守场。因此，存在udlA的原函数的原函数。按公式 xyz dzzyxRdyyxQdxxPu 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,( ,)12(00 222 0 22 00 zzyzxdzzyxdydx zyx 于是 15 .73)( )3, 1,5( )1 ,0,3( 222 B A l zzyzxdlA。 3.求下列全微分的原函数3.求下列全微分的原函数u： （1） ： （1）;)2()2()2( 222 dzxyzdyxzydxyzxdu （2）（2）.)46()63( 3222 dyyyxdxxyxdu 解：由公式解：由公式CdzzyxRdyyxQdxxPu xyz 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,( （1）Cdzxyzdyydxxu xyz 000 222 )2( Cxyz zyx 2 3 1 3 1 3 13 3 3 Cxyz zyx 2)( 3 13 3 3 ； （2）CyyxxCdyyyxdxxu xy 4223 00 322 3)46(3。 9.证明矢量场9.证明矢量场kzyjzxyiyxA)62()24()2(为调和场，并求其调和函数。为调和场，并求其调和函数。 解： 620 241 012 DA，有 0,6-42 Adiv2)-(2 A rot0)11()00(kji故 A 为调和场。 其调和函数u由公式CdzzyxRdyyxQdxxPu xyz 000 ),() 0 , ,()0 , 0 ,( .322)62()4(2 222 000 CzyzxyyxCdzzydyxyxdx xyz 10.已知10.已知. , 5 3243 332,2 uyxyxzyzxu求求【提示：【提示：) (ugraddivu 】 解：,)33()342()2126( 222332 kzyxjxyziyxxzugrad则 .62246) ( 23 zyzxyzugraddivu 13.试证矢量场13.试证矢量场xjyiA22为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数 为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数