O第5章方阵的特征值和特征向量.ppt

,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.1 方阵的特征值与特征向量,引言,矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：,工程技术中的振动问题和稳定性问题; 经济管理中的主成分分析(PCA); 数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性; 图像(信息)处理中的压缩存取.,本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵相似对角化问题.,定义,设A是n阶方阵, 如果数 和n维非零列向量x满足,则称 为A的特征值, 非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值 的特征向量。,把(1)改写为,5.1方阵的特征值与特征向量,(注： 可以求得 ， ),称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。,由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远约定在复数范围内.,5.1方阵的特征值与特征向量,性质,又,(P160),5.1方阵的特征值与特征向量,求矩阵 的特征值.,两个特征值为,问: 特征向量是实的还是复的?,5.1方阵的特征值与特征向量,求 A 的特征值.,因此, n 个特征值为,问：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为？,5.1方阵的特征值与特征向量,求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。并注意二者的区别?,解 （对于矩阵A）,5.1方阵的特征值与特征向量,A 的特征值为,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,5.1方阵的特征值与特征向量,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令,得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,5.1方阵的特征值与特征向量,(对于矩阵B),B 的特征值为,5.1方阵的特征值与特征向量,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,5.1方阵的特征值与特征向量,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,5.1方阵的特征值与特征向量,回答问题：,(1) 向量 满足 ,是 A 的特征向量吗？,(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?,(3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。,，A 有一个特征值为_。,(4) ，A 有一个特征值为_。,可逆, A 的特征值一定不等于_。,(5) A 的特征值与 的特征值有什么关系？,5.1方阵的特征值与特征向量,(6) 一个特征值对应于几个特征向量?,一个特征向量对应几个特征值?(见例4),(7) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值,是_, 它对应的特征向量是_。,特征向量的个数=_。,是 的一个特征值，它对应的最大无关的,5.1方阵的特征值与特征向量,证明：一个特征向量只能对应一个特征值。,证 假设 是A 的对应 特征值 和 的特征向量,则,5.1方阵的特征值与特征向量,(P.157P.158),设 是方阵 A 的特征值, 对应的一个特征向量,证明,(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的,特征向量仍为 x。,证,5.1方阵的特征值与特征向量,推广：,设 是方阵 A 的特征值，,则 是 的特征值。,的特征值。,是,是,5.1方阵的特征值与特征向量,(类似P161 例8),设3阶矩阵A的三个特征值为,求,解 A的特征值全不为零，故A可逆。,的三个特征值为,计算得,因此，,5.1方阵的特征值与特征向量,证明A的特征值只能取1或2.,设 是A的特征值，则,的特征值为,由于 是零矩阵，其特征值全是零，故,证,5.1方阵的特征值与特征向量,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.2 相似矩阵,设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,定义,特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。,性质,(1) 相似关系是一种等价关系; (2) A与B相似, 则r(A)=r(B); (3) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值; (4) A与B相似, 则 ; (5) A与B相似, 则 ; (6) A与B相似, 则 与 相似; 其中 (7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。,5.2 相似矩阵,求x与y和A的特征值。,求a与b。,解 (1),A的特征值等于B的特征值为：,5.2 相似矩阵,(2),5.2 相似矩阵,下面讨论对角化的问题,说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,5.2 相似矩阵,不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。,即设 是矩阵A的不同的特征值，,又设 对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,则,仍是线性无关的。,5.2 相似矩阵,上式两边左乘 A 得,再由 线性无关得,类似可得,由假设 得,5.2 相似矩阵,n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。,5.2 相似矩阵,(续第2节例3, 首先看矩阵A),第1步 求特征值,第2步 求线性无关的特征向量，,即求 的基础解系,5.2 相似矩阵,第3步 如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆),令,第4步 写出对角化形式,则,问： 如果,对吗？,5.2 相似矩阵,矩阵B只有两个线性无关的特征向量，从而B不可对角化。,(再看矩阵B),5.2 相似矩阵,设 的所有不同的特征值为,则,注： 称为 的(代数)重数, 称为 的几何重数。,记,即：,问: 单重特征值对应的线性无关特征向量有几个?,5.2 相似矩阵,证 (参考),设 对应的最大无关特征向量为,把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。,则 可逆。,5.2 相似矩阵,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,即: 设,互不同，此时,则 A可对角化的充要条件是,亦即: 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征,向量的个数。,简称:几重特征值有几个特征向量.,5.2 相似矩阵,证(参考) (充分性) 设,个，它们仍是线性无关的，故可角化。,把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有,(必要性) 设A可对角化,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,问 x 为何值时，A 可对角化？,是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论)。,是二重根，A可对角化,5.2 相似矩阵,提示：A 可对角化,5.2 相似矩阵,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.3 (实)对称矩阵的对角化,对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.,对称矩阵的特征值必为实数。,(证明自学),从而特征向量可取到实的。,证,对称矩阵必可正交对角化。,即设A是对称矩阵, 则存在正交矩阵Q,使得,对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.,即等于其对应的最大无关特征向量的个数。,即,5.3 (实)对称矩阵的对角化,把对称矩阵,正交对角化。,第1步:求特征值。,(特征值必都是实数),5.3 (实)对称矩阵的对角化,第2步:求线性无关的特征向量。,对 ，解方程组,求得基础解系(即最大无关特征向量),5.3 (实)对称矩阵的对角化,对 ，解方程组,求得基础解系(即最大无关特征向量),前面的,5.3 (实)对称矩阵的对角化,第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不 正交, 用施密特过程正交化, 再把正交的特征向量 单位化。,5.3 (实)对称矩阵的对角化,第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。,单位化：,则,令,5.3 (实)对称矩阵的对角化,设对应于 的无关特征向量为,的基础解系, 因此上面方程组的任意基础解系都是,对应于 的特征向量。,解(1)可求得,5.3 (实)对称矩阵的对角化,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.4 二次型及其次标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1), 化为:,见下图,5.4 二次型及其次标准形,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,如三维的二次型为:,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内.,5.4 二次型及其次标准形,二次型的矩阵表示,5.4 二次型及其次标准形,一般地，对于n维的二次型,上式称为二次型的矩阵表示。也常记为,5.4 二次型及其次标准形,任给一个对称矩阵A，令 显然可唯一地确定一个二次型反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵A使得,(如前). 而且对称矩阵A是唯一.,5.4 二次型及其次标准形,对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;,f 叫做对称矩阵A的二次型;,对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r(f).,n维二次型与n阶对称矩阵之间是一一对应的关系,5.4 二次型及其次标准形,写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。,解,问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?,5.4 二次型及其次标准形,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在 中取值的标准形,5.4 二次型及其次标准形,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换)：,代入(1)式，使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,5.4 二次型及其次标准形,(其中D为对角矩阵),注意到 与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于,对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使,问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？,5.4 二次型及其次标准形,(P132 定理8),5.4 二次型及其次标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤,5.4 二次型及其次标准形,解,化为标准形。,求A的特征值,求二次型的矩阵,(P132例14),5.4 二次型及其次标准形,求A的规范正交的特征向量,单位化,5.4 二次型及其次标准形,得正交的基础解系,单位化,求正交变换矩阵,5.4 二次型及其次标准形,写出二次型的标准形,用正交变换 ，二次型 f 化为标准形为,5.4 二次型及其次标准形,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得 ，从而,5.4 二次型及其次标准形,解得,A与D有相同的特征值，分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,5.4 二次型及其次标准形,定义,设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使,则称A与B合同.,性质,(1) 合同关系是一种等价关系； (2) A与B合同, 则 r(A) = r(B); (3) A与B合同, A对称, 则B对称.,二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同 变换为对角矩阵。,在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当 于二次型可以互化(也称二次型等价)。,5.4 二次型及其次标准形,定理,(P132 推论) 二次型必可化为规范形。,证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:,(思考为什么一定可化为上面形式？),再做一次可逆的线性变换,则 f 化为,5.4 二次型及其次标准形,思考并回答,(1) 二次型的标准形唯一吗？,(2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？,(3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？,(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？,5.4 二次型及其次标准形,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.5 用配方法化二次型成标准形,配方法的步骤,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,(P134例15)化二次型,为标准形, 并求变换矩阵.,5.5用配方法化二次型成标准形,即,令,5.5用配方法化二次型成标准形,所用变换矩阵为,5.5用配方法化二次型成标准形,所给二次型中无平方项,(P134例15)化二次型,为规范形, 并求变换矩阵.,5.5用配方法化二次型成标准形,再配方得,5.5用配方法化二次型成标准形,所用变换矩阵为,5.5用配方法化二次型成标准形,得标准形为,下面做法对吗?,5.5用配方法化二次型成标准形,第五章,相似矩阵及二次型,5.3 对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 二次型及其标准形,5.5 用配方法化二次型成标准形,5.6 正定二次型,5.6 正定二次型,本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型.,在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即,则称这两个二次型等价。这相当于,即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。,对二次型按等价分类, 相当于对对称矩阵按合同等价分类。,什么条件决定两个二次型等价？,我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.,例如 与 不可能等价.,因为不存在可逆矩阵 C 满足,因为,5.6正定二次型,( P136 定理9 ),在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次型的规范形唯一。,二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.,设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r p . f 的规范形为,惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。,5.6正定二次型,规范形为 的二次型为正定二次型。与单位矩阵合同的对称矩阵 为正定矩阵。,如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形