函数的单调性、极值与最值.ppt

函数的单调性 极值与最值,考试要求 1、掌握函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值的导数法及一般步骤； 2、会运用比较法确定函数的最值点。,第二节 导数与函数的单调性,基础知识梳理,1函数的单调性 函数f(x)在某个区间(a，b)内，若f(x)0，则f(x)为 若f(x)0，则f(x)为 ，若f(x)0，则f(x)为 2如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化 ，这时，函数的图象就越“ ”,增函数,常数,减函数,越大,越快,陡峭,基础知识梳理,3利用导数判断函数单调性的一般步骤：(1)求f(x)；(2)在定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(3)根据(2)的结果确定f(x)的单调区间,基础知识梳理,若函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，这种说法是否正确？ 【思考提示】 不正确，函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，此处f(x)0，并不是指x在a，b内处处有 f(x)0，可能只在某些具体的点处f(x)0.,思考？,三基能力强化,1(2010年高考江苏卷)函数f(x)x3 15x233x6的单调减区间为_,三基能力强化,2已知对任意xR，恒有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0时有f(x)，g(x)的正负情况为_,三基能力强化,3设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)为增函数的充要条件是_,三基能力强化,4三次函数yf(x)ax3x在x(，)内是增函数，则a的取值范围是_,课堂互动讲练,利用导数研究函数的单调性应注意以下两点： (1)在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性,(2)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到,课堂互动讲练,(2009年高考全国卷)已知函数 f(x)x43x26. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设点P在曲线yf(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程,课堂互动讲练,1(2011年高考重庆卷)设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数f(x)的单调区间,课堂互动讲练,(2009年高考安徽卷)1.已知函数f(x)x a(2lnx)，a0.讨论f(x)的单调性,课堂互动讲练,2(2011年高考模拟卷)已知函数 f(x) 1/2 x2ax(a1)lnx，a1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：若a5，则对任意x1，x2(0，)，x1x2，有,课堂互动讲练,(2009年高考浙江卷)3.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR) (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值； (2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分14分) 4.已知x0，证明： 不等式1+,练习,2、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1 （1）若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求y=f(x)在上最大值； （3）若函数y=f(x)在区间-2,1上单调递增，求b的取值范围,第三节 导数与函数的极值和最值,基础知识梳理,1函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 ,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,基础知识梳理,函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的 ，f(b)叫做函数yf(x)的 极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,基础知识梳理,(2)求函数极值的步骤： ； ； 检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 ，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 ,求导数f(x),求方程f(x)0的根,极大值,极小值,基础知识梳理,方程f(x)0的根就是函数yf(x)的极值点是否正确？ 【思考提示】 不正确，方程f(x)0的根未必都是极值点,思考？,基础知识梳理,2函数的最大值与最小值 在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤： (1) (2),求f(x)在(a，b)内的极值,将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中,最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,三基能力强化,1(2010年山东烟台模拟)函数yx2cosx在0， 上取得最大值时，x的值为_,三基能力强化,2(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)_ 无极大值点、有四个极小值点 有三个极大值点、两个极小值点 有两个极大值点、两个极小值点 有四个极大值点、无极小值点,三基能力强化,3已知f(x)ax3bx2x(a，bR且ab0)的图象如图所示，且|x1|x2|，则有a，b的正负情况是_,三基能力强化,4函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ 答案：a2或a1,课堂互动讲练,(2009年高考北京卷)1.设函数f(x)x33axb(a0) (1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点,【思路点拨】 (1)由f(2)0，f(2)8求a，b；(2)求f(x)，讨论单调性,2(2009年高考四川卷)已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)f(x) mx/3，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值,课堂互动讲练,3.已知函数f(x)alnxx2(a为实常数) (1)若a2，求证：函数f(x)在(1，)上是增函数； (2)求函数f(x)在1，e上的最小值及相应的x值； (3)若存在x1，e，使得f(x) (a2)x成立，求实数a的取值范围,课堂互动讲练,(2009年高考陕西卷)4.已知函数f(x)x33ax1，a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,变:若函数f(x)与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围,高考热点探究,5.已知函数f(x)ln(x1)ax. (1)当x0时，函数f(x)取得极大值，求实数a的值； (2)若存在x1,2，使不等式f(x)2x成立，其中f(x)为f(x)的导函数，求实数a的取值范围； (3)求函数f(x)的单调区间,6.烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染已知A、B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)若C是AB连线上的点，设ACx km，C点的烟尘浓度记为y. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由,7.某造船公司造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x) (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？,例题精析,题型一 用导数法求函数的单调区间,例1、求函数 的单调区间。,例2、求函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1的单调区间。,题型二 已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围,例1、已知函数 在(0,+) 上是增函数，求a的取值范围。,例2、设a1,f(x)=(x2+ax+1)e1-x, g(x)= 若存在x1,x20,1,使得|f(x1)-g(x2)|1,求a的取值范围。,题型三 用导数求含参数的函数的极值,例1、已知a0,求函数 的极值点。,练习：若函数y=3a2x-x3在(-,-1),(1,+)上是减函数,在(-1,1)上是增函数，则f(x)的极大值、极小值分别是 。,题型四 用导数法求函数的解析式,例1、已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当x=1,x=-1时有极值，且|f(x)-f(-1)|=4,求a,b的值。,题型五 用导数法求函数的极值,例1、求函数f(x)=|x3-3x|在区间0,a的最大值。,练习1、求函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1在区间1,3上的值域。,2、已知a0，函数 设 ，记