北大附中高考数学专题复习直线与平面练习.doc

学科：数学教学内容：直线与平面综合能力训练【综合能力训练】一、选择题1.如图7-20，点p、q、r、s分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线pq与rs是异面直线的一个图是（ ）2.如图7-21，正方体abcda1b1c1d1中，ef为异面直线a1d和ac的公垂线，则直线ef与bd1的关系是（ ）a.异面直线b.平行c.相交且垂直d.相交且不垂直3.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）a.0b.1c.2d.34.a、b是异面直线，以下面四个命题，正确命题的个数是（ ）过a至少有一个平面平行于b过a至少有一个平面垂直于b至多有一条直线与a、b都垂直至少有一个平面分别与a、b都平行a.0b.1c.2d.35.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：（1）与a是异面直线；（2）与a所成的角为定值；（3）与a的距离为定值d。那么，这样的直线b有（ ）a.1条b.2条c.3条d.无数条6.如图7-22，点p在正方形abcd所在的平面外，pd平面abcd，pd=ad，则pa与bd所成角的度数为（ ）a.30b.45c.60d.90 7.如图7-23，四棱锥pabcd的底面abcd是一个正方形，pd垂直于abcd，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有（ ）a.3对b.4对c.5对d.6对8.设有不同的直线a、b和不同的平面、，给出下列三个命题：若a,b,则ab。若a,a，则。若，则。其中正确的个数是（ ）a.0b.1c.2d.39.若有平面与，且= l, ，p，p l，则下列命题中的假命题为（ ）a.过点p且垂直于的直线平行于b.过点p且垂直于l的平面垂直于c.过点p且垂直于的直线在内d.过点p且垂直于l的直线在内10.过正方形abcd的顶点a作线段aa平面abcd。若aa=ab，则平面aab与平面acd所成角的度数是（ ）a.30b.45c.60d.9011.已知相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内，若命题p：l、m中至少有一条与相交；命题q: 与相交，则p是q的（ ）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.不充分也不必要条件12.如图7-24，pao所在平面，ab为底面圆的直径，c为下底面圆周上一点，cab=，pba=，cpb=，则（ ）a.cossin=sinb.sinsin=sinc.coscos=cosd.cossin=cos二、填空题13.将正方形abcd沿对角线ac折成直二面角后，异面直线ab与cd所成角的大小是。14.在平面内有一个正三角形abc，以bc边为轴把abc旋转角，（0，），得到abc，当=时，abc在平面内的射影是直角三角形。15.已知，正方体abcda1b1c1d1，过点a作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面（注：只需任意写一个）。16.如图7-25，p是四边形abcd所在平面外一点，o是ac与bd的交点，且po平面abcd。当四边形abcd具有条件时，点p到四边形四条边的距离相等。（注：填上你认为正确的一种条件即可。不必考虑所有可能的情况。）三、解答题17.在如图7-26所示的三棱锥pabc中，pa平面abc，pa=ac=1，pc=bc，pb和平面abc所成的角为30。（1）求证：平面pbc平面pac；（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；（3）求ab的中点m到直线pc的距离。18.如图7-27，在长方体abcda1b1c1d1中，点e、f分别在bb1、dd1上，且aea1b，afa1d。（1）求证：a1c平面aef；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与两个平面所成的角相等）试根据上述定理，在ab=4，ad=3，aa1=5时，求平面aef与平面d1b1bd所成的角的大小。（用反三角函数值表示）19.已知边长为a的正三角形abc的中线af与中位线de相交于g（如图7-28），将此三角形沿de折成二面角adeb。（1）求证：平面agf平面bced；（2）当二面角adeb为多大时，异面直线ae与bd互相垂直？证明你的结论。20.如图7-29，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，bad=60，ab=4，ad=2，侧棱pb=，pd=。（1）求证：bd平面pad；（2）若pd与底面abcd成60的角，试求二面角pbca的大小。21.如图7-30，已知vc是abc所在平面的一条斜线，点n是v在平面abc上的射影，且n位于abc的高cd上。ab=a,vc与ab之间的距离为h，mvc。（1）证明mdc是二面角mabc的平面角；（2）当mdc=cvn时，证明vc平面amb；（3）若mdc=cvn=（00,三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。（3）如图，过m作mdac，垂足为d。平面pac平面abc且相交于ac，md平面pac。过d作depc，垂足为e，连结me，则de是me在平面pbc上的射影，depc，mepc，me的长度即是m到pc的距离。在rtabc中,mdbc，md=bc=。在等腰rtpac中，de=dcsin45=，me=，即点m到pc的距离为 。18.（1）证：因为cb平面a1b，所以a1c在平面a1b上的射影为a1b，由a1bae，aea1b，得a1cae。同理可证a1caf。因为a1caf，a1cae又afae=a，所以a1c平面aef。（2）解 过a作bd的垂线交cd于g，因为d1dag，所以ag平面d1b1bd。设ag与a1c所成的角为，则由定理知即为平面aef与平面d1b1bd所成的角。由已知，计算得dg=，如图建立直角坐标系，则得点及向量：a(0,0,0),g(，3，0)，a1(0,0,5),c(4,3,0),=（,3,0）, =（4,3,-5）。因为ag与a1c所成的角为，所以cos=,=arccos。即平面aef与平面cef所成角的大小为arccos。注：本题也可利用“平行转移法”求ag与a1c所成的角。19.解 （1）abc是正三角形，af是bc边的中线，afbc。又d、e分别是ab、ac的中点，debc。afde，又afde=g，agde，gfde，de平面afg，又de平面bced，平面afg平面bced。（2）agde，gfde，agf是二面角adeb的平面角。平面agf平面bced=af，作ahag于h ，ah平面bced。假设aebd，连eh并延长ad于q，则eqad。agde，h是正三角形ade的重心，也是中心。ad=de=ae=，ag=ag=a,hg=ag=a。在rtahg中，cosagh=.agf =-agh,cosagf= -，agf=arcos(-)，即当agf=arcos(-)时，aebd。20.解 （1）由已知ab=4，ad=2，bad=60，得bd2=ad2+ab2-2adabcos60 =4+16-224=12。ab2=ad2+bd2，abd是直角三角形，adb=90，即adbd。在pdb中，pd=，pb=，bd=，pb2=pd2+bd2，故得pdbd。又pdad=d，bd平面pad。（2）bd平面pad，bd平面abcd，平面pad平面abcd。作pead于e，又pe平面pad，pe平面abcd，pde是pd与底面bcd所成的角，pde=60，pe=pdsin60=。作efbc于f，连pf，则pfbc，pfe是二面角pbca的平面角。又ef=bd=，在rtpef中，tanpfe=。故二面角pbca的大小为arctan。21.解 （1）由已知，vn平面abc，ncd，ab平面abc，得vnab。又cdab，dcvn=nab平面vnc。又v、m、n、d都在vnc所在平面内，所以，dm与vn必相交，且abdm，abcd，mdc为二面角mab