北大附中高考数学专题复习函数与方程.docx

学科：数学教学内容：函数与方程考点梳理一、考试内容集合、子集、交集、并集、补集。|ax+b|c(c0)型不等式。一元二次不等式。映射、函数。分数指数幂与根式。函数的单调性，函数的奇偶性。反函数，互为反函数的函数图像间的关系。指数函数。对数，对数的性质和运算法则。对数函数，换底公式。简单的指数方程和对数方程。二、考试要求1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。2.理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它们的解法。了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。3.了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念，掌握互为反函数的函数图像间的关系。4.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性。能利用函数的奇偶性来描绘函数的图像。5.理解分数指数幂、根式的概念，掌握分数指数幂的运算法则。6.理解对数的概念，掌握对数的性质。7.掌握指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单的指数方程和对数方程。三、考点简析1.函数及相关知识关系表2.集合（1）作用地位“集合”是数学研究的基本对象之一。学习集合的概念，有助于理解事物的逻辑关系和对应关系，加深对数学的抽象特征的理解，也能提高使用数学语言的能力。高考试题中，对集合从两个方面进行考查：一方面是考查对集合概念的认识和理解水平，主要表现在对集合的识别和表达上。如对集合中涉及的特定字母和符号，元素与集合间的关系，集合与集合间的比较，另一方面，则是考查学生对集合知识的应用水平，如求方程组、不等式组及联立条件组的解集，以及设计、使用集合解决问题等。（2）重点与难点重点是集合的概念和表示法及交、并、补集的运算。难点是集合运算的综合运用，特别是带有参数的不等式解集的讨论。（3）有关子集的几个等价关系ab=aab；ab=bab；abc uac ub；acub =cuab；cuab=iab。（4）交、并集运算的性质aa=a，a=，ab=ba；aa=a，a=a，ab=ba；cu (ab)= cuacub，cu (ab)= cuacub；（5）有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n1个非空子集。3.函数的性质（1）函数的概念：定义域、值域、对应法则、反函数、复合函数、分段函数；（2）函数的性质：单调性、奇偶性、有界性、极（最）值性、对称性、周期性等；（3）函数对称性与周期性的几个结论：设函数y=f(x)的定义域为r，且满足条件f(a+x)=f(bx)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；定义在r上的函数y=f(x)对定义域内任意x有f(x+a)=f(xb)，则y=f(x)是以t=a+b为周期的函数；定义在r上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2bf(2ax)，则y=f(x)关于点(a,b)对称；若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b（ab）对称，则y=f(x)一定是周期函数，且t=2|ab|是它的一个周期；若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于点(b,c)中心对称，则y=f(x)一定是周期函数，且t=4|ab|是它的一个周期。（4）函数的奇偶性与单调性：奇函数与偶函数的定义域关于原点对称，图像分别关于原点与y轴对称；任意定义在r上的函数f(x)都可以惟一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f(x)= +若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上也是单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间a,b（0af(b)，则ab;函数f(x)在r上单调递减，若f(a)f(b)，则a0时，f(x)在区间p,q上的最大值m，最小值m，令x0=(p+q)。若p，则f(p)=m,f(q)=m;若px0，则f()=m,f(q)=m;若x0q，则f(p)=m,f()=m;若q,则f(p)=m,f(q)=m。（3）二次方程的实根分布条件：二次方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;二次方程f(x)=0的两根都大于r二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或（检验）或（检验）。二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)（4）二次不等式的转化策略：二次不等式f(x)0的解集是：(,，+a0且f()=f()=0.当a0时，f()|+|;当a0时，f()f() |+|0时，二次不等式f(x)0在p,q上恒成立或或f(x)0恒成立或f(x)0时，函数图像过点（1，1），（0，0），且在第一象限内随x增加，图像上升；当n1时，在r上是增函数。当0a1时，在（0,+ ）上是增函数。当0a1时，在(0,+ )上是减函数。6.对数运算常用公式（1）a=n（2）logam+logan=loga(mn)（3）logamlogan=loga（4）logamn=nloga|m|（5）loga=loga|m|（6）loga=loga|m|（7）logbm=（8）（9）logablogbc=logac四、思想方法1.求函数解析式的方法：配方法与代入法。2.求值域的常用方法：观察法，函数单调性法，求逆函数法，分离法，配方法，换元法，判别式法，不等式法等。3.函数与方程思想函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究，得出所需的结论。方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。对于函数思想，应深刻理解一般函数y=f(x)、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。【例题解析】例1 （1）已知集合a=x|x2ax+a219=0，集合b=x|log2(x25x+8)=1，集合c=x|m=1,m0，|m|1满足ab, ac=，求实数a的值；(2)已知集合p=x|x25x+40,q=x|x22bx+b+20满足pq，求实数b的取值范围。解 （1）由条件即可得b=2，3，c=4，2，由ab，ac=，可知3a，2a。将x=3代入集合a的条件得：a23a10=0a=2或a=5当a=2时，a=x|x2+2x15=0=5,3,符合已知条件。当a=5时,a=x|x25x+6=0=2，3，不符合条件“ac”=，故舍去。综上得：a=2。（2）显然p=x|1x4，记f(x)=x22bx+b+2若q为空集，则由0得：4b24(b+2)0 1b2。若q不是空集，则应满足 即解之得：2b综上得：1g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0所以最少有401个解。且这401个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 一般地：当x3，2时，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2当x3,7,f(x)=(x2)2故当x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kz）例3 设a是正数，ax+y=2(x0,y0)，记y+3xx2的最大值是m(a)，试求：（1）m(a)的表达式；（2）m(a)的最小值。解 将代数式y+3xx2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求m(a)。（1）设s(x)=y+3xx2,将y=2ax代入消去y，得：s(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0x下面分三种情况求m(a)(i)当03a0)，即时解得 0a1或2a0)即时，解得：1a2，这时m(a)=s()=2a+3 =+(iii)当3a0；即a3时m(a)=s(0)=2综上所述得：m（a）=（2）下面分情况探讨m(a)的最小值。当0a1或2a2当1a2时m(a)=+=2()2+1a21当=时，m(a)取小值，即m(a)m（2）=当a3时，m(a)=2经过比较上述各类中m(a)的最小者，可得m(a)的最小值是2。注 解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3a是否在定义域区间0，内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。例4 已知函数f(x)=x(pz)在(0,+)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。（2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存在实数q(q0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0解得：1p3,而pzp=0,1,2当p=0或2时，有f(x)=x不是偶函数，故p=1，此时,f(x)=x2。（2）利用函数单调性的定义进行探索求解。f(x)=x2g(x)=qx4+(2q1)x2+1假设存在实数q(q0)，使得g(x)满足题设条件。设x1x2,则g(x1)g(x2)=qx14+(2q1)x12+qx24(2q1)x22=(x1+x2) (x2x1) q(x12+x22)(2q1)若x1,x2(,4，易知x1+x20,要使g(x)在(,4上是递减函数，则应有q(x12+x22)(2q1)0恒成立x132，而q0q( x12+x22)32q从而要使q( x12+x22)2q1恒成立，则必有2q132q即 q若x1,x2(4，)，易知(x1+x2) (x2x1)0恒成立4x10,4x20x12+x2232，而q32q要使q( x12+x22)2q1恒成立，则必有2q132q,即 q综合以上两方面，得q=故存在实数q=，使得g(x)在(,4上是减函数，且在(4,0)上是增函数。注 本例是一道综合性较强的题目。对于第（2）小题，还可以从复合函数性质方面来考虑，就有如下解法：设t=x2，由g(x)在(,4上是减函数，在(4,0)上是增函数，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函数，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函数，在16，+上是减函数，从而可得=16 q=例5 设函数f(x)定义域为r，当x0时，f(x)1，且对任意x,yr，有f(x+y)=f(x)f(y)。（1）证明：f(0)=1;（2）证明：f(x)在r上是增函数；（3）设集合a=(x,y)|f(x2)f(y2)0时，f(x)1。则设x=0,y=1得：f(0+1)=f(0)f(1)，即f(1)=f(0)f(1)f(1)1 f(0)=1（2）证明f(x)在r上是增函数，即证明当x1x2时，有f(x1)f(x2)。对x1,x2r,x10f(x2)=f(x1+x2x1)=f(x1)f(x2x1)中有f(x2x1)1故要证明f(x2)f(x1)，只要证明f(x1)0即可。事实上，当x10时，f(x1)10当x1=0时，f(x1)=10当x11 0f(x1)0f(x2)=f(x1)f(x2x1)f(x1)，故命题得证。（3）解 a：f(x2+y2)f(1)，则由单调性知x2+y20，得f(x)=，证得f(x)0恒成立。且=f(x2)f(x1)=f(x2x1)1f(x2)f(x1)例6 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0(a,b,cr)。（1）求证：两函数的图像交于不同的两点a、b；（2）求线段ab在x轴上的投影a1b1的长度的取值范围。解 （1）证：由消去y，得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+)2+c2此证法不够自然 abc ，c不同时为00，即两函数的图像交于不同的两点。（2）设方程ax22bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=,x1x2=|a1b1|2=( x1x2)2=( x1+x2)24x1x2 =()2=4()2+1=4(+)2+abc，a+b+c=0，a0,c0，求证：（1）pf()0，所以，pf()0时，由（1）知f()0，则f(0)0，又()0 又f()0，所以f(x)=0在（,1）内有解。当p0),已知二次方程f(x)x=0的两个根x1与x2满足0x1x2。（1）证明：当u(0,x1)时，uf(u)x1;（2）若f(x0x)=f(x0+x)，证明：2x0x1。证法一 （1）令f(x)=f(x)x，因为x1,x2是方程f(x)x=0的根，所以可设f(x)=a(xx1)(xx2)当u（0，x1）时， x10，又a0，得f(u)=a(ux1)(ux2)0，即uf(u)x1f(u)=x1(u+f(u) =(x1u)1+a(ux2)0ux1x20,1+a(ux2)=1+auax21ax20，得x1f(u)0。 f(u)x1故当u（0，x1）时，uf(u)x1（2）依题意得x0=x1,x2是方程f(x)x=0的两根，即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，所以x1+x2=x0=ax21, x0=，即2x0x1。证法二 （1）方程f(x)x=0的两根为x1,x2 f(x)x=a(xx1)(xx2)故欲证uf(u)x10f(u)ux1u0a(ux1)(ux2)x1u0a(x2u)0）0x2u0)又0ux2, 0x2u成立。故uf(u)x1成立。（2）由于方程x1,x2是方程f(x)x=0的根，也即ax2+(b1)x+c=0的两根。x1+x2=+又0x2x1+x2=+x1又x0=，故2x00。（1）求f()及f();（2）证明f(x)是周期函数；（3）记an=f(2n+),求(lnan)。解 （1）f(1)=f(+)=f()f()=f2()=af()=又f()=f(+)=f2()0 f()=a 同理可得f()=a（2）f(x)是偶函数， f(x)=f(x)又f(x)关于x=1对称，f(x)=f(2x)f(x)=f(x)=f2(x)=f(2+x) （xr）这表明f(x)是r上的周期函数，且2是它的一个周期。（3）对于x0，1，有0, f(x)=f(+)=f()f()0 （x0,1）（，其中，不能同时为0，）f()=f(n)=f+(n1)=f()f(n1)=f()f()f()=f()n又f()=a,f()=af(2n+)=f() an=a(lnan)= (lna)=0例10 已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当1x1时，|f(x)| 1。（1）证明：|c|1;（2）证明：当1x1时，|g(x)| 2;（3）设a0，当1x1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。解 （1）取x=01，1，由已知得：|c|=|f(0)| 1(2) 因为g(x)=ax+b是关于x的一次函数（也可能是常数函数），所以g(x)在区间1，1上单调（a0时，单调递增；a0时，g(x)在1，1上是增函数，所以当x=1时，g(x)取得最大值2，即2=g(1)=f(1)f(0)所以 1f(0)=f(1)212=1从而得：c=f(0)=1又当x1，1时，f(x)1=f(0)，表明二次函数f(x)在1，1上不单调，所以有1,1，且 f()=f(0)=1。又由二次函数极值的惟一性得：=0，即b=0,a=2，所以 f(x)=2x21。注 本题第（2）小题还可这样证明：用f(1),f(0),f(1)表示出a,b,c。由解得：a=f(0),b=,c=f(0)故|g(x)|=|ax+b| =|f(0)x+| =|f(1)+ f(1)xf(0)| |f(1)|+|f（1）|+|x|f(0)| |+|+1 =+1 =2学科：数学教学内容：函数与方程综合能力训练【综合能力训练】一、选择题1.已知集合m=x|x2+6x160,n=x|(xk)(xk2)0,mn，则k的取值范围是（ ）a.k0b.k2c.8k0d.k8或k02.已知集合m=x|x2=a2,ax|x是正实数，集合n=x|nx=a，a0，若nm，则n取值的集合是（ ）a.1b.1c.1,1d.1,0,13.已知函数f(x)=x2,集合a=x|f(x1) =ax,xr，且ax|x是正实数=x|x是正实数，则实数a的取值范围是（ ）a.（4,+）b.（，1c.（0,+）d.（,40,+4.函数y=x的值域是（ ）a.,+b.（，c.,+d.(, +)5.已知函数f(x)=4x2+4axa24a(a0)在区间0,1上有最大值12，则实数a的值为( )a.1b.2c.3d.66.函数f(x)=x22xsin+sin1(r)在区间0，1上的极小值为g(sin)，则g(sin)的最小、最大值是( )a.最小值1，最大值b.最小值3，最大值c.最小值2，最大值d.无最小值，最大值7.当0x1时，函数y=ax+a1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）a.a1c.a1d.ag(a)g(b)成立的是（ ）a.ab0b.ab0d.ab1（或x2，则a的取值范围是（ ）a.(,1)(1,2)b.(0,)(1,2)c.(1,2)d.(0,)(2,+)二、填空题13.函数y=+logx的值域是 。14.已知f(x)=a(a为不等于1的正数)，且f(lga)=，则a= 。15.x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是 。16.若函数f(x)=ax+blog2(x+)+1在(,0)上有最小值3(a,b为非零常数)，则函数f(x)在（0，+）上有最 值为 。三、解答题17.设f(x)是定义在（，+）上的函数，对一切xr均有f(x)+f(x+3)=0，且当1x1时，f(x)=2x3，求当20有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数。（1）证明f(1)=0;（2）若f(x)+f(x2)2成立，求x的取值范围。20.设集合a=x|4x2x+2+a=0,xr。（1）若a中仅有一个元素，求实数a的取值集合b；（2）若对于任意ab，不等式x26xa(x2