2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第五节两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数.ppt

第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数,基础梳理,1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 c(-):cos(-)= cos cos +sin sin ; c(+):cos(+)= cos cos -sin sin ; s(+):sin(+)= sin cos +cos sin ; s(-):sin(-)= sin cos -cos sin ;,2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 s2:sin 2= 2sin cos ; c2:cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2; 3. 形如asin +bcos 的化简 asin +bcos = sin(+),其中cos = ,的终边所在象限由a、b的值来确定.,题型一 化简求值,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分以去掉非特殊角.,解 原式=（2sin 50+sin 10 ） sin 80 =2sin 50+2sin 10 cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)= .,(2)根据本题点拨采用“切化弦”是解决本题的关健.它为逆用差角公式与和角公式铺平了道路.在三角函数式化简或求值过程中,还要注意利用和、差角的三角函数公式,它们可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便.,学后反思 (1)解决这类三角求值问题的一般规律是:恰当、准确地应用诱导公式、三角函数公式,合理地进行角的变换,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.,举一反三 1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式,题型二 给值求角,【例2】已知、为锐角，向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c = .若ab= ,ac= ,求角2-的值.,分析 由ab= ,ac= 及a,b,c的坐标，可求出关于、的三角函数值，进而求出角.,解 （1）ab=(cos ,sin )(cos ,sin ) =cos cos +sin sin =cos(-)= , ac=(cos ,sin ) = cos - sin = . 0 ,0 ,- - . 由得-= ,由得= . 又、为锐角，= . 从而2-= .,学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤： （1）求角的某一个三角函数值； （2）确定角所在的范围； （3）确定所求角的值.,举一反三 2. 已知tan = ,tan = ,并且、均为锐角，求+2. 解析： tan = 1,tan = 1,且、均为锐角， 0 ,0+2 . 又,题型三 给值求值,【例2】 设cos(-)=- ,cos(+)= ,- ,+ ,求cos 2,cos 2.,分析 本题“2”角与条件中出现的两个整体角+与-之间恰有关系(+)+(-)=2,(+)-(-)=2,使问题迎刃而解.诸如此类的整体还有=(+)-,2=( +)-( -),应注意在解题中的运用.,解 由cos(-)=- ,- ,得sin(-)= . 同理，可得sin(+)=- . cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)= . 同理可得,cos 2=- .,学后反思 给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.,举一反三 3. 已知 解析：,题型四 实际应用,【例3】(14分)已知向量m=(sin b,1-cos b),且与向量n=(2,0)所成角为 ，其中a、b、c是abc的内角. （1）求角b的大小； （2）求sin a+sin c的取值范围.,分析 （1）先利用向量的夹角公式求出角b的余弦值，进而求b的大小. （2）利用三角形的内角和定理将原式表示为一个角的三角函数的运算.,解 (1)m=(sin b,1-cos b),与向量n=(2,0)所成角为 , cos = ,2 2 -cos b -1=0, cos b=- 或cos b=1(舍去)， b= .8,(2)由(1)可得a+c= , sin a+sin c=sin a+sin（ -a） = sin a+ cos a=sin（a+ ）.10 0a , a+ , sin（a+ ） , sin a+sin c . 14,学后反思 新课标对三角恒等变换的要求：“经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”.向量是公式推导的基础与工具，那么，考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综合题是高考中的中档题，向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数，关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形，得到函数f(x)=asin(x+)+b,从而求周期、最值、单调性等问题.,举一反三 4. 如图所示，a、b是单位圆o上的点，且b在第二象限，c是圆与x轴正半轴的交点，a点的坐标为 ,aob为正三角形. (1)求sincoa; (2)求coscob.,解析: (1)因为a点的坐标为 ,根据三角函数的定义，sincoa= (2)因为aob为正三角形，所以aob=60. 又sincoa= ,coscoa= 所以coscob=cos(coa+60)=coscoacos 60-.,【例】已知在abc中，sin(a+b)= ,cos b= - ,求cos a的值. 错解 方法一：sin(a+b)=sin acos b+cos asin b, 又,易错警示,错解分析 方法一应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于cos a的一元二次方程再求解，方程虽不简捷却是可行的，然而，由于对abc中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有检验，从而结论错误.事实上，已知cos b0,表明了b是钝角，由a+b+c=知,a为锐角， 不合题意，应舍去.,正解 在abc中，由cos b=- ,得 .,考点演练,10. 若f()= ，求f（ ）.,解析: f()= . f（ ）= =8.,11. 已知 ,(0,)，求的值.,解析： 由已知条件得 . 即 sin - =0,解得sin = 或sin =0. 由0知sin = ,从而= 或= .,12. (2008江苏)如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于a、b两点.已知a、b的横坐标分别为. （1）求tan(+)的值； （2）求+2的值.,解析：由条件得,（2）,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 , (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数a为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c为常数); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点p（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点p（2，4）的切线方程.,分析 (1)点p处的切线以点p为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点p（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点p（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点p（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点p（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则. 解得 ,即点p(1,0), 点p到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点p（0,0）,求过点p(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过p点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q，当点q趋近于点p时，割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线，因此过点p的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线pq的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点p的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 p(2,0),且在点p处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析： f(x)过点（2,0