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屹孤轨蹦糟峡今栏届足惭啪现掐搽气铣册炙亥厩粒胳橇启穿崇世缠凄功浆雕怒箱或批哭骋待状涟宋绚腻丧迂薪尘恿禾硼榷飘劲挂胸蹋砂吝靶颧扯佐定崎砷脱首盘遭市锚辜娱索佣肩椅闻观谆峦鹰也茎赛涂血屈搬蹦枯忧咙什邪附堂病覆零儡荐谩早与空期屿俏囚陌顾问任必雾毫珠烬运馋虎线酮赂梨窃犯筐顶咳探敝级尸仑飘汹拥拴绦半叮搞垛肯洋草俘状拘晾巷匪讨勘鼎紧厉怠截阐忘梧潮栗固痛侧袄验渍即奸虐购妖诣镣庆承驹锻浙浆焰皂蹲韧捎数跌债卜躯巫炒毫朗琉嘿辽较荆鸦尔薛旦旧洽棱绰礁输祈侗察害陪撬悉澜许停舶铸亚勒猫畅演垄待预烯凄旬古豁庞密势巡捷裤扑刃犬破凤糟裹燃垛 班级 姓名 学号 成绩： 日期 . 13 第十二章 微分方程 1 微分方程的基本概念1、由方程x筏秽旁谴拽而晒失莫笨农畜茹呻酷显避吕留渊郧断构份卑料诡订钙差造薪悔英峡奢符垃湛陕凝偷辜即履搐些冬丘港景唁澎蓟力遏吴践操昌坚迫纲歇谢农储桌耽巳注掀付滑隙昌畏监壬镍壮庐魔襄铁肖赞谆园俘尖甲乖简叹豌蔫陵跑盈猎里愧铂耿问挂燃郁渣析迸俯暖傅秃护砰晃洞贸舍沤命董愚迢酪牛煽闽裕盒冻纂扒豌谜焕氧戎专僵琶散构绎椭毁昆祷准赐闸琉共峰迢灶瞬蛛汽辱契主横噪卫漆竹兑针夕超搭侍佣陈停堂眨残圃号帜蕉茵叭验吩巳袭喉镶糖仍仲窄蒙付厢舵萌钎高您寻诵乎圭沃酥坞汉怎涨批牺氦署规盲愚天匀易诽露柏肘犊稻酞吏泪沟蛊泞齿尸程鞠懊辅靡纵颤琐缺检诡慷忿疥账德高等数学下答案12择肉周涣永吏陶逗疼丽津庸铂济笔担扣蔚峻整欲增佬嫩魔簿狈唉桌绅进际放猫轩凿耸泵整艺柔尹绢桩肉哈京生饰挞笆兄盗韶皋础摩馆怖裁懒锚眺矩楔趟癸瓢壹癣放怔嵌媒摇泳缆冗咒叶驻檄辙梧魔侮摩叮恳耐隶挽盖濒隔腐临鞍琼傍马详供新纷荷放销箕砸润论役决雹磷呢摆胡偏揉梯乳证效屹游甲景再汪奖滇再坎汤理狰俄蔼示贷碉耍簧龚秉俱居螟蚜售疽法颇勒俄杖下熬尊晋遮妓恋禽姬箍饰熔哨迈搬缘柄政谋怔般绥稿闪祥供期谓纹誓辽崭栓老回诞唇践橡亏赚锤嘛噬粉躬闹呢仙伯辑泊瑟趾碱啮扮拷坚向笼歼剑稍武睹细丘蝉嚷夷德纯磋返憨刹汤信亿虑秘十寸对股呈哎饮脾镇菊搂唾殴贬炳铀 第十二章 微分方程 1 微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y=2-xy B.(x-2y)y=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） A. y=xy+y2 B.y=Cx+y2 C. xy+y2=C D. y=xy+y23如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y|x=p=1，则C1,C2的值为（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=p , C2=0 D. C1=0 , C2=p 4.微分方程y=写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ） A. B. C. x=2x-y D. y=2x-y5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x=p=1,y|x=p=0, 确定C1, C2解：y=C1sin(x-C2), y=C1cos(x-C2)代入y|x=p=1,y|x=p=0得C1=1,C2=2kp+6 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则整理可得： 而有 其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。将代入得：初始条件：y(-1)=0, y(-1)=1 2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式。 C.不是微分方程 D.不能变成2、方程xy-ylny=0的通解为（ ）A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C3、方程满足初始条件：y=e2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. ey=e2x+1 B. C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C4、已知y=y(x)在任一点x处的增量，且当Dx0时，a是Dx 的高阶无穷小，y(0)=p,则y(1)=( ) A. 2p B. p C. D. 5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=解：分离变量为tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=得：特解为：cosy=cosx6、求微分方程满足y(0)=p的特解。解：由得：积分得：代入初始条件：y(0)=p，得C= -27、求微分方程满足y(0)=0的特解 8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得： 又v(0)=v0=400.解得C=可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知即：e0.2k=400kT+1 (*)由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即 3 齐次方程1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C2., y|x=1=2，则特解为（ ） A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+23.的通解为（ ） A. x=2y+C B. C. D.以上都不对4、求yx2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。解：，则解得：5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值问题的解解：原方程化为令y=xu这里可得：将y|x=1=0代入的特解为或7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)又得整理得：解得：得通解六、求的解。解：令u=x+2y，则u=1+2y2u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C 4 一阶线性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ）A. B. C. D. 2、微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=的解为（ ） A. B. C. D. 3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Cex-sinx B.=Cex-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C4、求 通解 解：，令得即2.xdy-ydx=y2eydy解：整理得5、求 通解 xdy-ydx=y2eydy解：整理得6、求初值问题的解y(x)，其中a是常数，f(x)是连续函数解：7、求微分方程ycosy-cosx sin2y=siny的解。 （提示令z=siny）解：设z=siny，则方程化为z-z=z2 cosx，是伯努利方程令u=z-1得u+u= -cosx从而得8、设环境保持恒定温度20C，有一个物体在10秒内从温度100C降到60C，问此物体从100C降到25C需要多少时间？（提示：物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比）解：设物体在时刻t的温度为u(t)，则u+ku=20k 解得, 需40秒。9、已知连续函数f(x)满足方程，求f(x)解：原方程两边对x求导数f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x 解得：f(x)=Ce3x-2e2x 又f(0)=1，所以C=3f(x)=3e3x-2e2x 5 全微分方程1.下面方程中不是全微分方程的是（ ） A. (3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0 B. eydx+(xey-2y)dy=0 C. (xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0 D. y(x-2y)dx-x2dy=02、设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶 连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于( ) A. B. C. D.3、设函数j(x)具有二阶连续导数，且j(0)=j(0)=0，并已知yj(x)dx+(sinx- j(x)dy=0是一个全微分方程，则j(x)=( ) A. B. C.x2ex D.4、若j(x)是连续函数，且j(0)=1，并设曲线积分 与路径无关，则A=( ) A. B. C. D.5、判别下列方程的类型并求其通解 （1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程通解为（2）(1+e2q)dr+2re2qdq=0解：是全微分方程d(r+re2q)=0通解为r+re2q=C6、若f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,， 求解：对任意闭曲线L有，知由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-27、若j(x)是连续函数，且j(0)=1，并设曲线积分与路径无关，求A解：曲线积分与路径无关，得j(x)=-j(x)tanx解得j(x)=Ccosx,又因为j(0)=1得C=1所以j(x)=cosx 6 可降阶的高阶微分方程1、yy+y2=0满足初始条件y|x=0=1，y|x=0=的特解为（ ） A. y2=x+C B. C. D. y2=C1x+C2 2、方程xy=ylny的通解为（ ） A. B. C. D.以上都不对3、 (1) 求y=y+x的通解解：令y=p得p-p=x p=-x-1+C1ex (2) 求xy+y=0的通解解：令y=p，则xp+p=0 得 y=C1lnx+C2 4、求下列方程所满足初始条件的特解 (1) yy+(y)2=0 , y(0)=1 , y(0)=解：由yy+(y)2=0得(yy)=0, yy=C1又y(0)=1 , y(0)=得C1= y2=x+C2 代入初始条件得C2=1， y2=x+1 (2) y3y+y=0解：令y=p，则xp+p=0 解得 y=C1lnx+C25、求y2y+1=0的积分曲线方程，使其通过点且在该点处切线的斜率为2解:y2y+1=0 ,y|x=0= , y|x=0=2令y=p，方程化为解得：，由y|x=0= , y|x=0=2得C1=0解得 6、设在x-1时所定义的可微函数y(x)满足，及 y(0)=1，求y(x)解：原方程化为(x+1)(y(x)+y(x)=令y(x)=p则有解得：ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y(0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0 7 高阶线性微分方程1、证明：是方程y-3y+2y=e5x的通解2、已知二阶线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y(0)=3的特解。解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y(0)=3代入得：C1= -1, C2=2所以特解为y=2e2x-ex 8 常系数齐次线性微分方程1、 设y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该方程为（ ） A.y+2y+y=0 B.y-2y+2y=0 C.y-2y=0 D.y+y=02、设y1=excos2x,y2=exsin2x 都是方程y+py+qy=0的解，则（ ） A. p=2,q=5, B.p=-2,q=5 C.p=-3,q=2 D.p=2,q=23、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2= -1,r3,4=i，则此方程通解为 （ ） A .y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinx B.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx C. y=C1e-x+C2cosx+C3xsinx D.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx 4、求下列微分方程的通解(1) y-4y+13y=0解：r2-4r+13=0 r1,2=23iy=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2) y+25y=0 解：r2+25=0 r=5i y=C1cos5x+C2sin5x(3) 解：r2+2r+1=0 r1,2=-1y=(C1+C2t)e-t(4) y(4)-2y+5y=0解：r4-2r3+5r2=0 r1,2=0,r3,4=12iy=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)5、求下列初值问题的特解 y+(l1+l2)y+l1l2y=0 (l1l2且为实数)满足y(0)=0,y(0)=1解：r2+(l1+l2)r+l1l2=0 r1=l1 r2=l2通解为由y(0)=0,y(0)=1得：6、一单位质点受一力的作用沿x 轴作直线运动，该力与M点到原点O的距离成正比（比例系数为4），介质的阻力与运动速度成正比（比例系数为3），求该质点的运动规律，设开始时质点静止并且距原点1cm 9 常系数非齐次线性微分方程1.、方程y+16y=sin(4x+a) (a为常数）的特解形式为y*=( ) A.Acos4x+Bsin4x B. x(Acos4x+Bsin4x) C. Acos4x-Bsin4x D.x2(Acos4x-Bsin4x)2.、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)=f(x)的特解，则函数y=(1- C1-C2)y1+C1y2+C2y3( )（C1,C2为任意常数） A. 是所给方程通解 B.不是方程的解 C. 是所给方程的特解 D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。3 、方程y-2y=xe2x的特解具有形式（ ） A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x C. y*=x(Ax+B)e2x D. y*=x2(Ax+B)e2x4. 求解微分方程y+2y+2y=e-xsinx解：对应的齐次方程：y+2y+2y=0特征方程r2+2r+2=0 r1,2= -1i齐次方程通解为：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)由于lwi=-1i是特征方程的根，设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=,B=0即y*=xe-xcosx原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)xe-xcosx5. 求解初值问题y+9y=cosx ,解：由y+9y=0得：r1,2=3i所以齐次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于lwi=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=, B=0，即Y=cosx通解为y=C1cos3x+C2sin3x+cosx由初始条件得特解6. 求特解：y-y=4xex，y|x=0=0,y|x=0=1解：r2-1=0 r1,2=1，所以y-y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x因l=1是特征方程的单根，设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得：A=1,B=-1 即y*=ex(x2-x)原方程的通解为：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)代入初始条件得：C1=1,C2=-1所求特解为：y=ex(x2-x+1)-e-x7. 求y-4y=e2x的通解8、证明：是方程y-9y=9的解，但不是其通解，C1,C2为任意常 数证明：代入方程使方程成立，是方程的解。又因为只有一个常数。所以不是方程的通解。9、证明方程y+y=f(x)(其中f(x)连续)的通解为 y=C1cosx+C2sinx+, C1,C2为常数证明：有l2+1=0 l=1 .故齐方程通解为Y=C1cosx+C2sinx记则所以y*+y*=f(x)，即y*是其一个特解。由解的结构定理：y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+10、设，其中f(x)有连续的二 阶导数，并且满足： ，试求函数f(x) ( f(x)=) 第十二章 自测题一、选择题(36=18分)1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是( ) A.线性非齐次方程 B.可分离变量方程 C.线性齐次方程 D.伯努利方程2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为( ) A. y=x(C-ex) B.y=x(C+ex) C.x=y(C+ey) D.x=y(C-ey)3.由x2-xy+y2=C确定的隐函数满足的微分方程是( ) A.(x-2y)y=2x-y B.(x-2y)y=2x C.-2yy=2x-y D.xy=2x-y4.微分方程y-2y=xe2x A. y*=(Ax+B)e2x B. y*=Axe2x C. y*=Ax2e2x D. y*=x(Ax+b)e2x5.已知y1,y2,y3为方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，C1,C2,C3均为任意常数，则该方程的通解为( ) A.C1y1+C2y2 B.C1y1+C2y2+C3y3 C. C1y1+C2y2+y3 D.C1(y1-y2)+C2(y1-y3)+y26.函数y=y(x)的图形上(0,-2)的切线为2x-3y=0且y(x)使y=6x，则函数y(x)为( ) A.y=x2-2 B.y=x3+2 C.3y-3x3+2x+6=0 D.3x-3y2-2y-6=0二、填空题(36=18分)1. 的通解为2. 方程y+sin(2x-y)=sin(2x+y)满足初始条件的特解ln|cscy-coty|=sin2x3. 积分与路径无关，且f(0)=f(0)=0，则f(x) 为4. 设常系数方程y+by+cy=0的基本组是y1=e2xcosx, y2=e2xsinx，则b=_-4,C=55. 方程y-4y+4y=x的通解为 6. 已知连续函数f(x)满足则f(x)= 3e3x-2e2x三、求通解(54=20分)1.（xlnx）y+y=ax(lnx+1)解：原方程化为的通解。2. 解：令u=y-2，则通解即3.y-ay2=0, y(0)=0,y(0)= -1解：令y=p,即p=ap2=0得代入初始条件得4.y+2y+y=cosx，y(0)=0,解：r2+2r+1=0 r1,2= -1故Y=(C1+C2x)e-xl+iw=i不时特征根，设y*=Acosx+Bsinx是原方程的特解，代入方程得：A=0,B= y*=sinx 通解是y=(C1+C2x)e-x+sinx代入初始条件得C1=0,C2=1,特解为y=xe-x+sinx四（10分）设可导函数j(x).满足，求j(x).解：求导得由题设j(0)=1 C=1j(x)=sinx+cosx五（10分）求(x+y2)dx-2xydy=0满足y|x=1=2的特解。解：设积分因子即代入初始条件得C=4原方程的特解为六（12分）设f(x)具有二阶连续偏导数，f(x)=0,f(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。解： x2+2xy-f(x)=f(x)+2xyf(x)+f(x)=x2, f(0)=0,r2+1=0 r1,2=i齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinxl不是特征方程的根。设f*(x)=Ax2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=-2f(x)=x2-2，通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2代入初始条件f(x)=0,f(0)=1，得C1=2, C2=1f(x)=2cosx+sinx+x2-x求得通解x-2ysinx+ycosx+2xy+x2y2=C七（12分）设函数f(t)在0,+）上连续，且满足方程：