高中数学第一章单调性与最大（小）值（第2课时）函数的最大（小）值学案（含解析）新人教A版.docx

第2课时函数的最大(小)值学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值梳理一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数yx2，x1,1的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值答案当x1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个1因为f(x)x210恒成立，所以f(x)的最小值为0.()2f(x)(x0)的最小值为0.()3函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个()4如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为m，M()类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)(x0)(1)求证：f(x)在(0,1上为增函数；(2)求函数f(x)的最大值和最小值考点函数的最值及其几何意义题点由函数单调性求最值(1)证明设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).当0x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上单调递增(2)解当1x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上单调递减结合(1)(2)可知，f(x)maxf(1)，无最小值反思与感悟(1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势跟踪训练1已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值考点函数的最值及其几何意义题点由函数单调性求最值解设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)在区间2,6上是减函数因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是.类型二求二次函数的最值例2(1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)x23，求函数f(x)的最值考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值解(1)函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)(3)设t(t0)，则x23t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题跟踪训练2(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值解(1)设x2t(t0)，则x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(2)函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)f(x)x24x4(x2)28.设f(x)在t，t1上的最小值为g(t)当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12即t0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值解方法一令yx2xa，要使x2xa0对任意x(0，)恒成立，只需ymin0，解得a.实数a的取值范围是.方法二x2xa0可化为ax2x.要使ax2x对任意x(0，)恒成立，只需a(x2x)max，又(x2x)max，a.实数a的取值范围是.引申探究把本例中“x(0，)”改为“x”，再求a的取值范围解f(x)x2x在上为减函数，f(x)的值域为，要使ax2x对任意x恒成立，只需a，a的取值范围是.反思与感悟恒成立的不等式问题，任意xD，f(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决任意xD，f(x)a恒成立一般可转化为f(x)max0，ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，只需amin.设t，x(0,1，t1.t2t2.当t1时，(t2t)min0，即当x1时，min0，a0.实数a的取值范围是(，0.1函数yx1在区间上的最大值是()AB1C.D3考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案C2函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最大值也无最小值考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案A3函数f(x)x2，x2,1的最大值、最小值分别为()A4,1B4,0C1,0D以上都不对考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值答案B4已知函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6B10,8C8,6D以上都不对考点函数的最值及其几何意义题点分段函数最值答案A5若不等式xa10对一切x成立，则a的最小值为()A0B2CD考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案D1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得3许多数学问题如不等式证明，恒成立的不等式，图象与ya(a为常数)的交点问题等，都与函数最值有关，所以会求函数最值是一种基础技能一、选择题1函数f(x)的值域是()ARB1,1C1,1D1,0,1考点函数的最值及其几何意义题点分段函数最值答案D解析该函数的函数值只有三个2函数g(x)x24x3在区间(1,4上的值域是()A1，) B0,3C(1,3 D1,3考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值答案D解析g(x)(x2)21，当x2时，g(x)min1；当x4时，g(x)max3，g(x)在(1,4上的值域为1,33下列说法正确的是()A若函数f(x)的值域为a，b，则f(x)mina，f(x)maxbB若f(x)mina，f(x)maxb，则函数f(x)的值域为a，bC若f(x)mina，直线ya不一定与f(x)的图象有交点D若f(x)mina，直线ya一定与f(x)的图象有且仅有一个交点考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案A解析值域为a，b，则最小的函数值即f(x)mina，最大的函数值即f(x)maxb，A对f(x)mina，f(x)maxb，区间a，b上的某些元素可能不是函数值，因而a，b不一定是值域，B错若f(x)mina，由定义一定存在x0使f(x0)a，即f(x)与直线ya一定有交点，但不一定唯一，C，D都错4.若函数yf(x)，x2,2的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为()Af，fBf(0)，fCf(0)，fDf(0)，f(2)考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案C解析函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f(0)，同理，最小值对应f.5函数f(x)x()A有最小值，无最大值B有最大值，无最小值C有最小值，有最大值2D无最大值，也无最小值考点函数的最值及其几何意义题点由函数单调性求最值答案A解析f(x)x在定义域上是增函数，f(x)f，即函数最小值为，无最大值，故选A.6已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)的最小值为2，则f(x)的最大值为()A1B0C1D2考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值答案C解析因为f(x)(x2)24a，由x0,1可知当x0时，f(x)取得最小值，即44a2，所以a2.所以f(x)(x2)22，当x1时，f(x)取得最大值为121.故选C.7已知函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A160，)B(，40C(，40160，)D(，2080，)考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值答案C解析由于二次函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上是单调函数二次函数f(x)4x2kx8图象的对称轴方程为x，因此5或20，所以k40或k160.8已知函数f(x)x2ax4，若对任意的x(0,2，f(x)6恒成立，则实数a的最大值为()A1B1C2D2考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值答案A解析对任意x(0,2，f(x)6恒成立，只需即解得a1.a的最大值为1.二、填空题9若函数yax1(a0)在区间1,3上的最大值为4，则a_.考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案1解析a0，函数yax1在区间1,3上是增函数，ymax3a14，解得a1.10已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值答案(1,3解析f(x)的对称轴为x3，当且仅当1a3时，f(x)minf(a)11下列函数：yx|x|；yx|x|；yx|x|；y.其中有最小值的函数有_个考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案2解析yx|x|ymin0.yx|x|无最小值yx|x|无最小值yymin1.三、解答题12某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值解设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，设两地销售的利润之和为y，则yx221x2(15x)x219x30.由题意知0x15，且xZ.当x9.5时，y值最大，xZ，取x9或10.当x9时，y120，当x10时，y120.综上可知，公司获得的最大利润为120万元13求函数yf(x)在区间1,2上的最大值和最小值考点函数的最值及其几何意义题点由函数单调性求最值解任取x1，x2，且1x1x22，则f(x1)f(x2).因为1x1x22，所以2x1x24，即63(x1x2)12，又1x1x20，故f(x1)f(x2)0.所以函数y在区间1,2上为减函数，即ymaxf(1)，yminf(2)4.四、探究与拓展14(2017重庆检测)对于函数f(x)，在使f(x)M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于aR，a24a6的下确界为_考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值答案2解析设f(a)a24a6，f(a)M，即f(a)minM.而f(a)(a2)22，f(a)minf(2)2.M2.Mmax2.15已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设F(x)mf(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)考点函数的最值及其几何意义题点含参二次函数最值解(