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文档简介

1,第三章 微分中值定理与导数的应用,第一节 中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理,2,3,一、罗尔(Rolle)定理,例如,4,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,5,证,6,7,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,8,例1,证,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,9,10,设 在0, 上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点(0, ),使得 =,证明:,只要证明,由罗尔定理,至少存在一点,11,求证：存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,则,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,例4,12,13,14,15,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,16,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,17,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:1、,18,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,19,证: 在I上任取两点,定理3,在 上用拉格,朗日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数,20,例6,证,21,例7,证,由上式得,22,23,24,证明对任意,证明：,不妨设,因为,25,三、柯西(Cauchy)中值定理,26,几何解释:,证,作辅助函
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