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无 穷 级 数,从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用,本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：级数的收敛性判定问题，把已知函数表示成级数问题，级数求和问题。,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1. 级数的定义:,一般项,(常数项)无穷级数,级数的部分和,部分和数列,2. 级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,第 次分叉：,周长为,面积为,于是有,雪花的面积存在极限（收敛）,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,若记,则加括号后级数成为,的部分和记为,则,由数列和子数列的关系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收敛的必要条件,级数收敛的必要条件:,证明,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,2项,2项,4项,8项,项,由性质4推论,调和级数发散.,由定积分的几何意义,这块面积显然大于定积分,就是图中 n 个矩形的面积之和,即,故调和级数发散,调和级数的部分和,常数项级数审敛法,2、正项级数及其审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,是同阶无穷小,特别,（等价无穷小）,3、交错级数及其审敛法,4、任意项级数及其审敛法,Leibniz定理,绝对收敛，条件收敛,附：,正项级数与任意项级数审敛程序,例1,求极限,解,考察正项级数,由检比法,收敛,由级数收敛的必要条件得,二、典型例题,例2 设,试证,发散,证,不妨设 a 0,由极限保号性知,由于,故由比较法的极限形式得,发散,则,例3,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例4,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,证,再由比较审敛法知,而,即,可表为两个收敛级数,之和,证,由题设知,而,收敛,由比较法得,收敛,Cauchy积分审敛法,例7,证,由 f(x) 单调减少知,即,故,与,同敛散,例8,证,记,则,且,而正项级数,的部分和,又,单调增加且有界,故由单调有界原理知,存在,即,收敛,进而,收敛,由比较法得,收敛,证,记,由,单调减少,故由单调有界原理知,存在,且,若,由Leibniz审敛法得,交错级数,收敛,与题设矛盾,由检根法知,收敛,例9,已知,证明,由,知,对,有,证,例10,而,收敛,故由比较法知,收敛,由,知,有,而,发散,故由比较法知,发散,如,但,讨论,的敛散性,解,对级数,收敛,绝对收敛,发散,发散,分情况说明,例11,级数成为,收敛,发散,级数成为,绝对收敛,条件收敛,例12,对,的值，研究一般项为,的级数的敛散性,解,由于当 n 充分大时，,定号,故级数从某一项以后可视为交错级数,总有,级数发散,非增地趋于 0,由Leibniz审敛法知,收敛,但,而,发散,故由比较法的极限形式,发散,条件收敛,级数显然收敛,正项级数,由级数收敛的必要条件要使 收敛必须,但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，,因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效,的阶,问题的实质是级数收敛与否取决于,关于常数项级数审敛,和,作为,变化快慢,得到检比法和检根法，检比法,和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数,作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。,这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定,注,比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对正项级数方可使用,的一种估计,检比法、检根法只是充分条件而非必要条件,L准则也是充分条件而非必要条件,通项中