c第二章概率和概率分布.ppt

第二章,概率和概率分布,Probability and probability distribution,本 章 内 容,第一节 概率的基本概念,第二节 随机变量、概率分布 及总体特征数,一、有关的概念,第一节 概率的基本概念,必然事件,不可能事件,随机事件,出现概率为1的事件。 P = 1,出现概率为0到1的事件。 0 P 1,出现概率为0的事件。 P = 0,概率论：研究偶然现象本身规律性的科学。 统计学：基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学。 概率论是统计学的基础，统计学是概率论得出的规律在各领域中的实际应用。,试验（trial）：一组综合条件的实现。,小概率事件：事件发生的概率P0.05（5）或P 0.01（1）的事件，习惯上称为小概率事件。统计学上认为在一次试验中小概率事件是几乎不可能发生。,随机试验（random trial）：在试验中，做完一次观测并不能准确得知下一次结果的试验。,基本事件（elementary event）：试验的每一最基本的结果，用小写拉丁字母a, b, 表示。,事件（event）：基本事件的集合，用大写拉丁字母A, B, 表示。,二、事件的几种基本运算：, 事件的和 A、B两任意事件至少发生一个 ABA发生，或B发生，或A与B都发生, 事件的交 A、B两任意事件同时发生 ABA和B同时发生, 互不相容事件 A、B两事件的交是不可能事件 ABAB,【例2.1】,设是每网捕鱼1015的事件，是每网捕鱼813的事件，那么,三、概率的统计定义,1、频率（frequency）：实际发生率称为频率。设在相同条件下，某随机试验共进行k次，事件A出现了l 次，则k次随机试验中事件A出现的频率为l / k。,2、概率（probability）：随机事件发生的可能性大小。设在相同条件下，某随机试验共进行k次，事件A出现l次；随着k的增大，频率l/k将围绕某一确定的常数p做平均幅度愈来愈小的波动，p即为事件A的概率。用P(A)表示，取值0,1。,表2-1 不同样本含量的抽样试验,0.0500.350,0.1450.265,0.1910.212,3、频率与概率的关系, 频率是事件在试验结果中出现的实际发生率；概率是事件在试验结果中出现可能性大小的定量计量，是事件固有的属性。, 频率总是围绕概率上下波动。, 样本含量越大，频率波动幅度越小，频 率越接近概率。,四、概率的古典定义,2、概率（古典定义）：在满足古典概型的情况下，事件A中所包含的基本事件数（m）与基本事件总数（n）的比值m/n就是事件A的概率。,1、古典概型：满足随机试验的全部可能的结果（基本事件数）是有限的；各基本事件间是互不相容且等可能的，对于这类随机现象的概率类型，称为古典概型。,P（A）=m/n,在有两个孩子的家庭中，两个孩子都是男孩 第一个是男孩 两个孩子中至少有一个是男孩的概率分别是多少。, A2=第一个是男孩 m=2 P( A2)=2/4=0.50,【例2.1】,解：,两个孩子性别组成共有四种类型，即男男、男女、女男、女女， n=4, A1=两个男孩 m=1 P( A1)=1/4=0.25, A3=两个孩子中至少有一个是男孩 m=3 P( A3)=3/4=0.75,五、概率的一般运算（基于概率的古典定义）,（一）概率加法法则 A、B两事件和的概率： P(AB)P(A)+P(B)-P(AB) A、B是互不相容事件，它们和的概率： P(AB)P(A)+P(B) 有限个事件两两互不相容，它们和的概率： P(A1A2 An)P(A1)+P(A2)+ + P(An) 事件A的概率和它的对立事件A的概率的关系： P(A)1-P(A),（二）条件概率 (conditional probability),在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(AB)。,P(AB)= P(AB)/ P(B),把没有附加条件时的概率，称为无条件概率。,（三）概率乘法法则,P(AB)= P(B) P(AB) 或 P(AB)= P(A) P(BA),两事件交的概率等于其中一事件(其概率必须不为0)的概率乘以另一事件在已知前一事件发生条件下的条件概率。,（四）独立事件 (independent event),P(BA)= P(B) 或 P(AB) = P(A),若事件A的发生并不影响事件B发生的概率，称A和B是独立事件。,对于独立事件，概率乘法公式为： P(AB) = P(A) P(B),【例2.2】,施用甲、乙两种不同药物杀灭螟虫，结果见下表，现计算以下各概率：从200只虫中任取一只，这只是死虫的概率；从200只虫中任取一只，这只接受了甲药物的概率；接受甲药物且死亡的概率；死亡者中接受甲药物的条件概率。, P(B)=120/200=0.60, P(A)=160/200=0.80, P(BA)=96/200=0.48 =P(B)P(A|B)=120/20096/120 =0.48,解：, P(B|A)=96/160=0.60 =P(AB)/P(A)=0.48/0.80=0.60,（五）贝叶斯定理 (Bayes theorem),设事件B能且只能与互不相容事件 A1，A2， Ai， Ak 之一同时发生，那么，在事件B已发生的条件下，Ai发生的概率,【例2.3】,假定在中年男性人群中，肥胖者占20，标准体重的占50，低体重的占30。这三类人群中出现动脉硬化的概率分别为30、10和1。从这个假设的中年男性群体中随机抽出一人，他恰恰是动脉硬化的患者。问这个人从肥胖组、标准体重和低体重组中抽取的概率各是多少？,则 P(A1)=0.20, P(A2)=0.50, P(A3)=0.30,解：,P(B|A1)=0.30, P(B|A2)=0.10, P(B|A3)=0.01,用B表示抽到动脉硬化患者的事件。用A1、A2、A3分别表示抽到肥胖者、标准体重者和低体重者的事件。,第二节 随机变量、概率分布 及总体特征数,一、随机变量,每次抛两枚硬币，记录正面数结果。结果可记录为：,随机变量(random variable)：在随机试验中被测 定的量，以大写字母如X、Y 、 U等表示。,硬币1正面朝上，硬币2正面朝上； 2个正面 硬币1正面朝上，硬币2反面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2正面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2反面朝上； 0个正面,正面数是一随机变量。,观测值(observation)：随机变量所取得的值，以小 写字母如xi、yi等表示，下标i表示第i次观测值。,1、随机变量概念,2、随机变量类型, 离散型随机变量（discrete random variable）：随机变量取得的数值为有限个或可数无穷个孤立的数值。例如抛两枚硬币，正面数的可能取值为0、1、2。, 连续型随机变量（continous random variable)：随机变量可取某一区间内的任何数值。例如身高、体重、血清胆固醇含量,依据随机变量取值的特点分为：,二、概率分布 probability distribution,概率分布：把随机变量Y一切可能值yi 以及取得这些值的对应概率P(Y=yi)以表格、图形或公式的形式排列表示出来，称为概率分布。分为离散型概率分布和连续型概率分布两类。,1、基本概念,Y,Y,p(yi),p(y),离散型随机变量概率分布图, 离散型概率分布,概率函数：把离散型随机变量Y所取得值y的概率P(Y=y)写成y的函数p(y)，这样的函数称为随机变量Y的概率函数。,分布函数(累积分布函数)：随机变量取得小于等于某一可能值（y0）的概率。,2. 概率分布类型, 连续型概率分布,分布函数(累积分布函数)：是指随机变量Y 取得小于y0的值的概率。,密度函数：连续型随机变量Y的值落在区间长度趋向于0的区间内的概率的极限，表示随机变量Y在点y处的概率密度，用f(y)表示，称f(y)为随机变量Y的密度函数。,分布曲线：概率密度的图形。,x0,3. 概率分布与频率分布的关系,频率分布是实际发生的统计分布或经验分布，对应于各个样本；对于不同的频率分布，都有相应的理论分布。,概率分布是理论分布或总体分布，是频率分布的理想化数学模型，对应于总体。,三、总体特征数,统计量(statistic)：由样本数据计算出来的，表示样本特征的量称为统计量，用拉丁字母表示，y：样本平均数；s2：样本方差；s:样本标准差。,参数（parameter）：表示总体特征的恒定的量，称为参数，用希腊字母表示，m：数学期望（理论平均数，总体平均数）； 2：总体方差；：总体标准差。,总体特征数：定量描述总体概率分布特征的量。主要包括随机变量的数学期望、方差。,总体平均数：随机变量