高中数学第二章平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案（无答案）新人教A版.docx

22.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案向量思考2向量3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反思考3a的几何意义是什么？答案a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当|1时，表示a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍梳理向量数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律梳理向量数乘运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理思考1若b2a，b与a共线吗？答案根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.思考2若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？答案若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0时，不存在满足ba.梳理(1)向量共线定理向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一2若ba，则a与b共线()提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.类型一向量的线性运算例1(1)3(6ab)9_.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案9a解析3(6ab)918a3b9a3b9a.(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案4b3a解析由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思与感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练1计算：(ab)3(ab)8a.考点向量的线性运算及其应用题点向量的线性运算解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线解b6a，a与b共线(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.反思与感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，使dab与c共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2.因为e1与e2不共线，所以得2.故存在实数和，使得d与c共线，此时2.类型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，若点D满足2，则等于()A.B.C.D.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案D解析示意图如图所示，由题意可得().跟踪训练4如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a，b表示，.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量解因为()(ab)，所以babab.因为，所以()(ab)(ab)abab.1下列各式计算正确的有()(1)(7)6a42a；(2)7(ab)8b7a15b；(3)a2ba2b2a；(4)4(2ab)8a4b.A1个B2个C3个D4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析(1)(3)(4)正确，(2)错，7(ab)8b7a7b8b7ab.2在ABC中，M是BC的中点，则等于()A.B.C2D.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案C解析如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，2，故选C.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0Bk1Ck2Dk考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.n2m，此时，m，n共线4已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是()A.与B.与C.与D.与考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案B解析因为，所以0，即2，所以与共线5.如图所示，已知，用，表示.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量解().1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题4已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)，则A，P，B三点共线mn1.一、选择题1下列说法中正确的是()Aa与a的方向不是相同就是相反B若a，b共线，则baC若|b|2|a|，则b2aD若b2a，则|b|2|a|考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的定义及几何意义答案D解析显然当b2a时，必有|b|2|a|.23(2a4b)等于()A5a7bB5a7bC6a12bD6a12b考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案D解析利用向量数乘的运算律，可得3(2a4b)6a12b，故选D.3(2017安徽太和中学高一期中)已知a，b是不共线的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三点共线，则实数的值为()A1B2C2或1D1或2考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案D解析因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使k.因为a2b，a(1)b，所以a2bka(1)b因为a与b不共线，所以解得2或1.4(2017江西赣州高三二模)如图，ABC中，a，b，3，2，则等于()AabB.abC.abDab考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案D解析()ab，故选D.5.如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，a，b，则等于()AabB.abCabD.ab考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案D解析连接CD，OD，如图所示点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ACCD，CADDAB6030.OAOD，ADODAO30.由此可得CADADO30，ACDO.由ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四边形ACDO为平行四边形，ab.6已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.ABCD考点向量数乘的定义及运算题点向量的数乘运算及运算律答案B解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误7在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则等于()A.abB.abC.abD.ab考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案D解析DEFBEA，DFAB，.a，b，联立得(ab)，(ab)，(ab)(ab)ab.二、填空题8(a9b2c)(b2c)_.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案a10b9设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.10已知在ABC中，点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案3解析0，点M是ABC的重心3，m3.11若向量a与b的夹角为45，则2a与3b的夹角是_考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的定义及几何意义答案135解析如图所示，可知2a与3b的夹角是135.三、解答题12计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abab0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.13在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和.考点向量共线定理及应用题点用已知向量表示未知向量解如图，设a，b.M，N分别是DC，BC的中点，b，a.在ADM和ABN中，即2，得b(2cd)，2，得a(2dc)dc，cd.四、探究与拓展14如图，在ABC中，延长CB到D，使BDBC，当点E在线段AD上移动时，若，则t的最大值是_考点向量共线