高中数学第四讲复习素材新人教A版选修.docx

整合提升知识网络典例精讲 数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳猜想证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.【例1】设nN*且n2，求证:1+恒成立.证明:n=2时，左边=1+=右边，原不等式成立；设n=k(k2)时原不等式成立，即1+.当n=k+1时，有1+即n=k+1时原不等式成立.由，可知对于任何nN*（n2）原不等式成立.【例2】设a1,a2,a3,anR且0ana1+a2+an+1-n(n2,nN*).证明:n=2时，（1-a1）(1-a2)0,a1a2a1+a2+1-(1+1)成立.设n=k(n2)时原不等式成立，即a1a2aka1+a2+ak+1-k成立，则a1a2ak+ak+1-1a1+a2+ak+ak+1+1-(k+1)成立.要证明n=k+1时原不等式成立，即a1a2akak+1a1+a2+ak+1+1-(k+1)成立,只需证明不等式a1a2akak+1a1a2ak+ak+1-1(*)成立.要证明不等式（*）成立，只需证明(a1a2ak-1)(ak+1-1)0.又0ai1(i=1,2，,k,k+1)恒成立，0a1a2ak0成立.不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立.由可知对于任何nN*（n2）原不等式成立.温馨提示当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于“假设不等式”和“目标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由“假设不等式”得到一个右边和“目标不等式”完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的“中途不等式”.【例3】求证：(n+1)(n+2)+(n+3)（n+n）=2n135(2n-1).证明:用数学归纳法.当n=1时，显然成立.根据归纳法假设，当n=k时，命题成立，即(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2k135(2k-1).要证明n=k+1时，命题也成立，即(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k+11352(k+1)-1.要用来证明，事实上，对等式两边乘以,就凑好了等式的左边.接下来，对2k135恒等变形，可得式右边.因此，对任意nN*，原不等式成立.【例4】已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意不相等的实数x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，且f(p)=p(p为常数)，又在数列an中，a1p,f(an)+an=2an+1,求证：（1）anan.思路分析:用数学归纳法证明从“n=k到n=k+1”时，关键是“一凑假设，二凑结论”.证明:很明显,n=1时，a1p成立.假设n=k时，akp成立，则当n=k+1时，由|f(p)-f(ak)|p-ak|及f(p)=p,可得|p-f(ak)|p-ak|,又akp,故|p-f(ak)|p-akak-pp-f(ak)p-ak注意到已知条件f(ak)+ak=2ak+1,将其变形为f(ak)=2ak+1-ak,代入式得ak+1ak.这样命题(1)、（2）获证.【例5】设a,b(0,+)且=1，求证：对于任何nN*,有(a+b)n-an-bn22n-2n+1成立.证明:n=1时，原不等式显然成立；设n=k时原不等式成立，即（a+b）k-ak-bk22k-2k+1,则n=k+1时，（a+b）k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk+abk+akb(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb,由1=,可得ab4,a+b4.abk+akb2=2k+2.(a+b)k+1-ak+1-bk+1(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb4(22k-2k+1)+2k+2=22(k+1)-2(k+1)+1,即n=k+1时原不等式成立.由可知对于任何nN*原不等式成立.温馨提示得到（a+b）(a+b)k-ak-bk是过渡成功的一半.问题化归为求关于a,b的二元函数在条件=1下的最小值问题后，若注意到原不等式“=”成立的条件为a=b=2,则容易想到上述过程.【例6】正项数列xn中，对于任何nN*，xn2xn-xn+1恒成立.求证：对于任何nN*,xn0解得0x11，原不等式成立.设n=k时原不等式成立，即0xk成立，由于xk