高中数学第二章抛物线课时提升作业（十五）2.3.1抛物线及其标准方程检测（含解析）.docx

课时提升作业(十五)抛物线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014安徽高考)抛物线y=14x2的准线方程是()A.y=-1 B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解题指南】将抛物线化为标准形式即可得出.【解析】选A.由y=x2得x2=4y,所以抛物线的准线方程是y=-1.【补偿训练】(2014陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.答案:x=-12.(2015陕西高考)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【解题指南】利用抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),求得=1,即可求出抛物线焦点坐标.【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).3.(2015长沙高二检测)过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=12yD.x2=-12y【解析】选C.由题意知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以点F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线.故动圆圆心的轨迹方程为x2=12y.【补偿训练】已知动点P(x,y)满足(x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-10|5,则P点的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【解析】选D.由题意知,动点P到定点(1,2)和定直线3x+4y-10=0的距离相等,又点(1,2)不在直线3x+4y-10=0上,所以点P的轨迹是抛物线.4.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.抛物线的准线为y=-1,所以点A到准线的距离为5,又因为点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等,所以距离为5.【一题多解】选D.因为y=4,所以x2=4y=16,所以x=4,所以取A(4,4),焦点坐标为(0,1),所以所求距离为=5.5.(2015山师附中高二检测)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.2C.5D.92【解析】选A.如图,由抛物线定义知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|PA|+|PF|的最小值,则当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.又A(0,2),F,所以(|PA|+|PF|)min=|AF|=172.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|a|,则a的取值范围是.【解析】设Q,由|PQ|a|得t24-a2+t2a2,t2(t2+16-8a)0,t2+16-8a0,故t28a-16恒成立,则8a-160,a2,故a的取值范围是(-,2.答案:(-,27.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是.【解析】由抛物线的方程得=2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.答案:68.若点P到F(3,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小1,则动点P的轨迹方程为.【解题指南】可以考虑运用直接法,设出P点坐标,列等式或考虑抛物线的定义.【解析】由题意知点P到F(3,0)的距离比它到直线x=-4的距离小1,则应有P到(3,0)的距离与它到直线x=-3的距离相等.故P的轨迹为抛物线且以F(3,0)为焦点,所以=3,p=6,故抛物线方程为y2=12x.答案:y2=12x三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值.(2)求抛物线的焦点和准线方程.【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px(p0),则焦点坐标F,准线方程x=.由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于5,即点M到准线的距离等于5,则3+=5,所以p=4,所以抛物线方程为y2=-8x,又点M(-3,m)在抛物线上,所以m2=24,所以m=2,所以所求抛物线方程为y2=-8x,m=2.(2)因为p=4,所以抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程是x=2.【补偿训练】(2013福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.【解析】依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,设Pi坐标为(x,y),由得:y=x2,即x2=10y,所以Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.10.(2015长春高二检测)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p0),因为点C(5,-5)在抛物线上,可解得p=,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h米,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【解析】选C.根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|+|BF|)-=-=.【补偿训练】抛物线y2=-2px(p0)的焦点恰好与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合,则p=()A.1B.2C.4D.8【解析】选C.椭圆中a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),抛物线y2=-2px(p0)的焦点F与F1重合,所以-=-2,所以p=4.2.(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1【解析】选A.=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015深圳高二检测)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=.【解析】如图所示,AFE=60,又F(2,0),所以E(-2,0),所以=tan60,所以AE=4,所以点P的坐标为(6,4),所以|PF|=|PA|=6+2=8.答案:84.(2014湖南高考)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=.【解题指南】由正方形的边长给出点C,F的坐标,代入抛物线方程求解.【解析】由题意可得C,F,则=+1.答案:+1三、解答题(每小题10分,共20分)5.设点P是曲线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.(2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值.【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离,于是,问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交曲线于P点,故最小值为=.(2)如图,自B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于P1,此时,|P1Q|=|P1F|,那么|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.6.(2015苏州高二检测)如图所示,花坛的水池中央有一喷泉,水管OP=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1