平稳随机过程及其遍历性.ppt

1,2,随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。,3,一 平稳随机过程,1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process),(1) 定义,如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为狭义平稳随机过程。,实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间平稳就行了。,4,(2) 特性,一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关,时，对于一维概率密度有：,5,随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的,都与时间t无关,6,7,8,9,10,实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。 相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。 随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。 （1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。 （2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。,11,2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process),12,为什么要研究宽平稳随机过程?,随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基础。 物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。,13,14,例 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t 。其中 X，Y为相互独立的随机变量， 且分别以概率 2/3、1/3取值-1和2。 试讨论随机过程Z(t)的平 稳性。,15,解,16,Z(t)是广义平稳的。,17,Z(t)不是严格平稳的。,18,例 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布 的随机变量。试问X(t)是否平稳？,19,二 平稳随机过程自相关函数的性质,数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。 对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。 相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息的工具。 要求： (1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数； (2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。,21,22,性质3,极值性,当 平稳过程的相关函数具有最大值。 物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。,23,24,25,26,性质7,若平稳过程含有平均分量(均值) ，则相关函数也含有固定分量 , 即,则,若X(t)是非周期的，,自相关性函数确定方差,27,自相关函数的傅里叶变换是非负的，限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求相关函数是连续的（平顶，垂直边均是非连续）即：不能出现平顶、垂直边或在幅度上的任何不连续。,28,29,30,31,此值在1，1之间。 表示不相关， 表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。,相关系数,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数,表征随机过程在两个不同时刻的状态之间的统计关联程度,32,相关时间,对于一般的随机过程而言，随着时间间隔 增大相关程度减弱，因此相关系数也随着减弱，当间隔大到一定程度（假定为 ），相关系数很小可以认为起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。,33,34,35,例：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求X(t)的均值、均方值和方差。,36,37,例：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值和方差。,38,39,例： 已知随机过程X(t)与Y(t)的协方差函数 比较两个过程的起伏速度,40,41,三 遍历(Ergodic)随机过程（各态历经性）,每当提及随机过程时，意味着要涉及大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，需要观察大量的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对大量样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到的数字特征。这种平均称为统计平均或集合平均。显然，取统计平均所需要的试验工作量很大，处理方法也很复杂。这就使人们自然想到，根据平稳随机过程统计特性与记时起点无关这个特点，能否找到更加简单的方法代替上述的方法。 辛钦证明：在具备一定的条件下有平稳随机过程的任意一个样本函数取时间平均（观察时间足够长），从概率意义上趋近于该过程的统计平均值。这样的随机过程，称具备各态历经性或遍历性。,42,43,44,45,46,定义 随机过程的时间自相关函数。,则称平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性。,自相关函数各态历经性,如果它依概率1收敛于集合均值，即,当且仅当 时上式成立，则称X(t)的均方值具有遍历性。,47,自相关函数各态历经,任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态。,48,各态历经过程与非各态历经过程示意图,49,50,51,52,对于正态平稳随机过程，若均值为零，自 相关函数 连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为：,注意：判断一个平稳过程是否遍历，我们总是先假设其 是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平 均以概率1等于统计平均）,一般不用两个判别定 理。,53,54,故平稳随机