概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩).ppt

4.3 协方差及相关系数、矩 对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数 4.3.1 协方差 由4.2.2中方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立,则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机变量X与Y相互独立时,有EX E(X)Y E(Y)= 0成立,这意味着当EX E(X)Y E(Y)0时,X与Y不相互独立,由此可见这个量的重要性,4.3.1 协方差,定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y) = EX E(X)Y E(Y) 这样，上节中方差的性质(3)可改写为 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X，Y) 由(4.9)式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为 Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) 常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).,4.3.1 协方差,由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质： (1) (2) (3) ，a，b为常数； (4) (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有 Cov(X，Y) = 0,4.3.1 协方差,【例4.22】设随机变量(X，Y)具有概率密度 其中区域G由曲线与围成，如图4-4所示， 求Cov(X，Y)及D(X + Y) 解：,4.3.1 协方差,4.3 协方差及相关系数、矩 4.3.2 相关系数 定义4.5 称 为随机变量X与Y的相关系数 相关系数XY是一个无量纲的量XY常简记为,【例4.23】在例4-22中，求相关系数XY 解：因为 所以,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |XY | 1； (2) |XY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使 PY = aX + b = 1 定义4.6 若XY = 0，称X与Y不相关0 XY 1，称X与Y正相关， 1 XY 0，称X与Y负相关 事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,X与Y的线性关系程度随着|XY|的减小而减弱, 当|XY| = 1时X与Y的线性关系最强， 当XY = 0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X与Y不相关.,4.3.2 相关系数,由协方差的性质 (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y) = 0 易知 定理4.3 若X与Y相互独立，则XY = 0，即X与Y不相关，反之不真 这意味着，X与Y不相关仅指X与Y之间不存在线性关系，并不能说明X与Y不具有其他关系,4.3.2 相关系数,【例4.24】设随机变量Z服从(，)上的均匀分布，又X = sinZ，Y = cosZ，试求相关系数XY 解：由于 因而Cov(X，Y) = 0，XY = 0 相关系数XY = 0，说明随机变量X与Y不相关， 但是，由于 ，所以X与Y不独立,4.3.3 矩 矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用 定义4.7 设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k = 1，2，存在，称其为X的k阶原点矩，简称k阶矩； 若 存在，称其为X的k阶中心矩； 若 存在，称其为X和Y的k + l阶混合矩； 若 存在，称它为X和Y的k + l阶混合中心矩,4.3.3 矩,(1) X的k阶原点矩: E(Xk)，k = 1，2， (2) X的k阶中心矩: (3) X和Y的k + l阶混合矩: (4) X和Y的k + l阶混合中心矩: 显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩， X的方差D(X)是X的二阶中心矩， X和Y的协方差Cov(X,Y)=0是X和Y的二阶混合中心矩,【实验4-2】设X和Y分别表示在一分钟内通过某收费站的小汽车数量和卡车数量，X和Y的联合分布律如下： (1) 期望E(X)、E(Y)、E(XY) (2) 方差D(X)、D(Y) (3) 协方差Cov(X，Y) (4) 相关系数XY,实验准备： (1) 函数SUMPRODUCT的使用格式： SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .) 功能：返回多个区域array1,array2,array3, . 对应数值乘积之和 (2) 函数MMULT的使用格式： MMULT(array1,array2) 功能：返回两数组的矩阵乘积结果矩阵的行数与array1的行数相同，列数与array2的列数相同,实验步骤： (1) 整理数据如图4-5所示 图4-5 整理数据,(2) 计算边缘概率PX = xi和PY = yj 在单元格G2中输入公式：= SUM(B2:F2)，并将其复制到单元格区域G3:G6 在单元格B7中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其复制到单元格区域C7:F7 (3) 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： =MMULT(B1:F1,B2:F6)，,选中单元格区域B9:F9后，按F2键，再按组合键Ctrl+Shift+Enter，算出中间数组，如图4-6所示 图4-6 计算矩阵乘积,然后在单元格B10中输入公式： =MMULT(B9:F9,A2:A6)，即得期望E(XY)，如图4-7所示 图4-7 计算期望E(XY),(4) 计算期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y) 在单元格B11中输入公式： =SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6) 在单元格B12中输入公式： =SUMPRODUCT(B1:F1,B7:F7) 在单元格D11中输入公式： =SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B112 在单元格D12中输入公式： =SUMPRODUCT(B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B122,(5) 计算协方差Cov(X，Y) 在单元格B14中输入公式：=B10-B11*B12 (6) 计算相关系数XY 在单元格B15中输入公式：=B14/SQRT(D11*D12) 即得结果如图4-8所示 图4-8 计算结果,第四章 随机变量的数字特征,【分赌本问题解答】 1654年法国有个职业赌徒De Mer向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？ 这个问题在当时引起了许多人的兴趣,显然平均分对甲不公平,全部归甲对乙又不公平合理的分法当然是按照一定的比例,甲多分些,乙少分些，那么如何确定分配比例呢？,1654年法国有个职业赌徒De Mer向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？ 分法(1) ：基于已赌的局数分配： 甲赢了两局，乙赢了一局，故甲乙两人按2：1的比例分赌注；,【分赌本问题解答】,【分赌本问题解答】,分法(2)： Pascal提出了如下的分法： 设想再赌下去，甲的最终所得视为一个随机变量X，其可能值为0或100，再赌两局赌博必结束，结果无外乎是以下4种情形之一： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙， 其中“甲乙”表示甲胜第一局乙胜第二局，其余类似由