高教出版社线性代数.ppt

,5.1 二次型及其矩阵表示,一. 二次型的定义, 5.2 5.3,二次曲线ax2+bxy+cy2 =1,m(x)2+n(y)2=1,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,f(x1, x2, , xn) = a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn,n元实二次型,aij = aji,n aijxixj i, j =1,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i, j =1,xTAx,f 的矩阵,A的二次型,f 的秩: r(A),第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i, j =1,k1y12 + k2y22 + +knyn2,?,f 的标准形,(y1, y2, , yn),=,k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn,y1 y2 yn,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y),寻求可逆矩阵P, 使得,寻求可逆的线性变换x = Py, 使得,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,二. 矩阵的合同,对于方阵A, B, 若存在可逆矩阵P, 使得 PTAP = B, 则称A与B相合或合同.,矩阵间的相合关系也是一种等价关系.,定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.,第五章 二次型,5.2 化二次型为标准形,5.2 化二次型为标准形,定理5.2. 对于任何一个n元实二次型f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + + nyn2, 其中1, 2, , n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的对应的n个单位正 交特征向量.,正交变换下的标准形,一. 用正交变换化实二次型为标准形,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,例1. 用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.,|EA| = (1)(2). 所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(EA)x = 0求得对应的特征向量 1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T. 它们是两两正交的.,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(EA)x = 0求得对应的特征向量 1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T. 它们是两两正交的.,把它们单位化可得正交矩阵,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,f = y22 +2y32.,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,二. 用配方法化实二次型为标准形,例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.,解: f =4x12+3x22+3x32+2x2x3,令,则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,三. 用初等变换法化实二次型为标准形,例6. f =2x1x2+2x1x3 6x2x3的矩阵为,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.2 化二次型为标准形,第五章 二次型,即x = Cy把该二次型化为,第五章 二次型,5.3 正定二次型,5.3 正定二次型,一. 惯性定理,定理5.3. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f = k1y12 + + knyn2 其中k1, , kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.,第五章 二次型,5.3 正定二次型,例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形:,f = 2z12 2z22 +6z32,可见秩(f) = 3, f的正惯性指数p = 2, f的负惯性 指数q = 1.,第五章 二次型,5.3 正定二次型,推论a. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 且规范形是唯一的.,第五章 二次型,5.3 正定二次型,二. 二次型的正定性,1. 定义:,f(x) = xTAx,x 0 f(x) 0,x 0 f(x) 0,2. 性质,(1) An, Bn正定 An + Bn正定矩阵.,(3) A正定, P可逆 PTAP正定.,(2) diagd1, , dn正定i, di 0.,第五章 二次型,5.3 正定二次型,3. 判定,定理5.4. 设A为n阶实对称矩阵, 则TFAE:,1 = a