宁荣键函数幂级数展开.pps

问题： 为何将函数展开成幂级数？ 将函数展开成幂级数需要何条件？ 如何将函数展开成幂级数？,第六节 函数的幂级数展开式,为何将函数展开成幂级数？,数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。,复杂的 函数,简单的 函数,数学的方法,在上节我们讨论了幂级数的和函数性质，但在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。,如果 在点 的某一个邻域内具有直到n+1阶的导数，则有其n阶泰勒公式：,=,其中,为Lagrange型余项：,介于,与,之间。,前面我们已经介绍了一个函数的泰勒公式：,将函数展开成幂级数需要何种条件？,但是一个函数的泰勒公式为一个近似计算公式，其中,就是用,代替,时所产生的误差。并且在.,等价于,即有,由此可见，在一定条件下，一个函数可以表示成幂级数形式。因此引入函数幂级数的概念。,的某邻域内，,考虑,可以证明：,从而,在点,处的泰勒级数为,如果,在点,处的泰勒级数收敛于,就称,可展开成泰勒级数，或称,为,的泰勒展开式。,处的泰勒级数也称为,的麦克劳林级数，,在点,处的泰勒展开式也称为,的麦克劳林展开式。,在点,即,称为,的麦克劳林级数， 如果,就称上式右端为,的麦克劳林展开式。,定理: 设,的某个邻域内有各阶导数, 则,在点,在点,的某个邻域内可展开成泰勒级数的充要条件为:,由上讨论即得：,此定理给出了一个函数可展开成泰勒级数的充要条件，并且我们还证明了：,结论：如果一个函数可展开成泰勒级数，则其泰勒级数一定 是唯一的。,如何将函数展开成幂级数？,由前面的讨论及泰勒公式作为基础，现在我们将研究如何将函数展开成幂级数。具体方法可分为：,直接法（以麦克劳林级数为主）,直接法；,直接法是指：直接求出函数在 处的各阶导数，构造 出幂级数，求出收敛半径，并通过讨论在 收敛区间（域）内是否有 判断出函数是否可以展开成幂级数，若可以 即得函数的幂级数展开式。,间接法。,将某函数展成幂级数通常有下列几个步骤：,解:,进而,其收敛半径为,幂级数为,对,不难得出,即有：,而对,n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6,n=7,解:,所以,得幂级数,其收敛半径为,又对,又,由于,所以,进而,n=1,n=3,n=5,n=7,我们还可以得到其他重要结论，现总结如下：,间接法,间接法是指：利用已知的结论，通过有限次四 则运算、复合运算及解析运算， 得到的函数的幂级数展开式。,此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开成幂级数的主要方法，应重点掌握。,解：,因此,所以,由于,解：,因此,将两式相减得：,在上式中令,得：,由于,若取前四项作为近似值，其误差为：,因此,注：,解：,所以,并由幂级数逐项积分的性质，得：,根据幂级数的系数与函数导数之间的关系，有,由于,小 结,将函数展开成幂级数是数学研究、工程计算等问题中的一项基本内容，占有重要的理论地位。随着我们知识面不断地扩大，我们会接触到更加深入、更加完善的理论，如pad逼近、连分式逼近、有理样条插值等理论，这些理论在工程计算、计算机辅助设计等诸多领域有着广泛的应用。我校数学系在该领域取得了丰硕的成果，在国内外同行中享有美誉。 对于本次课程内容，同学们不仅要了解将函数展开成幂级数理