线性代数第一章复习.ppt

1,第一章 行列式,1.1 二阶、三阶行列式 1.2 n阶行列式 1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行（列）展开 1.5 克莱姆法则,2,1.1二阶、三阶行列式,历史点滴: 行列式来源于线性方程组的求解 1683年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768) 在其专著中提出了行列式的概念与算法 1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704-1752) 提出了线性方程组的行列式解法 “克拉默法则” 1772年,法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735 -1851)首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人 现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(A.Cayley, 1821-1895)于1841年引进的,.,3,二阶行列式,即实线连接的元之积减去 虚线连接的元之积,4,三阶行列式,5,三阶行列式的对角线法则,注 1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号 2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列 3.三阶行列式含3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积, 三项为正,三项为负,.,6,例题与讲解,例2：计算三阶行列式：,解：,按对角线法则，,.,7,1.2 n阶行列式,排列：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。 自然排列：n级排列123n 称为自然排列。,214,1314,不是排列,不是排列,n级排列中每个数必须出现一次， n个数中不能有重复数，不能有大于n的数,54321,5级排列,3142,4级排列,8,逆序与逆序数：在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为N(i1i2in)。 排列的逆序数为偶数的称偶排列，排列的逆序数为奇数的称奇排列。,.,逆序数计算 ：从最左面的数开始算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如排列 32514 的逆序数为N（32514）=2+1+2+0+0=5,9,对换：在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中，若仅将其中两个数ji、 jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 jk jijn , 这样的变换称为一次对换。 定理：一次对换改变排列的奇偶性。即,则,奇偶性不同,与,若,10,对换性质的证明,思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。,1.,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当ab时,经对换后b的逆序数增加1, a的逆序数不变;,当ab时,经对换后b的逆序数不变, a的逆序数减少1;,2.,设排列为,现在对换a与b。,即总共经过2m+1次相邻对换,每次都要改变奇偶性。,所以,对换改变奇偶性.,.,11,奇、偶排列个数相等,定理2：在所有的n 级排列中（n1）,共有n !个n级排列，奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。 证明:设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则 p+q= n ! 现对每一个奇排列施行一次对换，即,偶排列,奇排列,由此得p个偶排列,而偶排列数共有q个,故pq;,同理,对q个偶排列各做一次对换,可得q个奇排列,故有qp;所以p=q。,又因为p+q=n!,故 p=q=n!/2。,.,12,二阶、三阶行列式共性, 有n!(n=2、3)项。, 为所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和。,每项符号取决于：当这一项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负, 为偶排列时为正。,n 阶行列式的定义,13,定义1.2,n阶行列式,是所有取自不同行,不同列的n个数的乘积,即 n阶行列式的一般项为,其中,构成一个n级排列，当,的代数和.,各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负, 为偶排列时为正。,取遍所有n,级排列，则的行列式表示的代数和中所有的项。,14,说明,1、 阶行列式是 项的代数和;,2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式,15,例1,定理：n阶行列式D=|aij|的一般项可记为：,其中,均为n级排列。,16,行列式定义的等价表示形式,行下标顺序排列,列下标顺序排列,据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊的行列式(如有较多零元素的行列式),而直接计算一般的行列式时,可能会较烦琐。,.,17,特殊行列式,上三角行列式,下三角行列式,对角行列式,左三角行列式,右三角行列式,.,18,练习,用行列式的定义计算下面的行列式,.,19,1.3 行列式的性质,如何有效地计算一般行列式？ 两条基本思路： 经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。 经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。 要达到上述目的, 先对行列式基本性质进行研究。,.,20,转置行列式,转置行列式定义：,把D中的行变为列，列变为行， 可得一个新行列式,对行列式,.,21,行列式性质1,性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。,证明：,则,设,此时,(根据行列式等价定义),=D,行列的地位是相同的,.,22,行列式性质2,性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即,第t行,第k行,.,23,行列式性质2的证明,证：,第k行,第t行,D1=,第k行,第t行,D1的一般项为,因此,.,24,性质2的推论,推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即,第k行,第t行,D=,=0,因为将第k行与第t行互换可得,即,.,25,性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即,证：左边=,=右边,.,26,性质3的推论,推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。 推论2：若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即,第k行,第t行,=0,.,27,性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。即,=,+,左边,=右边,.,28,例1计算行列式,解：,=,+,.,29,性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即,k,+,=,由性质3、4可证，此性质是行列式中化零元素主要工具。,.,30,性质回顾,性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。 性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。 性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号外。 性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。 性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。,31,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,32,解,33,34,35,36,37,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,38,39,例3,各列减去第一列,解得:,.,40,例4,第一行乘(-1)加到其余各行上,(-1),(-1),n (-1), n ,.,41,小结,一、为了帮助同学们记忆行列式的性质,归纳如下： 1.两个翻：全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。 2.三个零：某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素相等;两行(列)对应位置的元素成比例。 3.三个可：可提性;可加性;可分性。 二、两种计算方法： 1.定义法；（主要用于低阶行列式、特殊行列式）。 2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。,.,42,叫做元素 的代数余子式,例如,四、行列式按行（列）展开,定义,43,44,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,先考虑第一行除 外其余均为零情形，再考虑一般行第i 行所有元素除 外都为零情形。,45,定理 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,46,例1 计算行列式,解,按第一行展开，得,47,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,48,同理,49,关于代数余子式的重要性质,50,例2,51,52,例3 计算行列式,解,53,54,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 2.如某一行（列）中非零元较少，则选取该行（列）来展开。,三、小结,55,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,56,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,57,例4 范得蒙(Vandermonde)行列式,其中,表示所有可能的,即,.,乘积,58,五、 克莱姆法则,引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式D0时,方程组有惟一解,n个方程的n元线性方程组一般形式为,59,定理（Cramer 法则）上面定义的线性方程组，当的系数行列式（定义）不等于零，即,则线性方程组(1)有唯一解,且,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,.,60,证：(存在性)将xj=Dj/D代入方程组验证。,.,61,(唯一性)设方程组有解x1,x2,xn则必定为xj=Dj/D。 用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组中的n个方程,得,再把 方程依次相加，得,于是,当 时,方程组(2)有惟一的一个解,.,62,例：用Cramer法则解线性方程组,解,.,6