18【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——立体几何

第 1 页 共 43 页 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编立体几何立体几何 （2010 上海文数）上海文数）20.20.（本大题满分（本大题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分. . 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩 形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作 出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(00,所以“ 32 ( ) 3 a f xxbxcxd在（-，+）内无极值点”等价于“ 2 ( )20fxaxbxc在（-，+）内恒成立” 。 由（*）式得295 ,4ba ca。 又 2 (2 )49(1)(9)bacaa 解 0 9(1)(9)0 a aa 得1,9a 即a的取值范围1,9 （20102010 北京理数）北京理数） （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相 垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1. （）求证：AF平面BDE； （）求证：CF平面BDE； （）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF/AG，且 EF=1，AG= 1 2 AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF/平面 EG， 因为EG 平面 BDE，AF平面 BDE， 所以 AF/平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CEAC， 所以 CE平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz. 则 C（0，0，0） ，A（2，2，0） ，B（0， 第 20 页 共 43 页 2，0）. 所以 22 (,1) 22 CF ，(0,2,1)BE ，(2,0,1)DE . 所以0 1 10CF BE :,1 0 10CF DE : 所以CFBE,CFDE. 所以CF BDE. (III) 由（II）知， 22 (,1) 22 CF 是平面 BDE 的一个法向量. 设平面 ABE 的法向量( , , )nx y z,则0n BA :，0n BE :. 即 ( , , ) ( 2,0,0) 0 ( , , ) (0,2,1) 0 x y z x y z : : 所以0,x 且2 ,zy 令1,y 则2z . 所以(0,1,2)n . 从而 3 cos, 2| n CF n CF n CF : 。 因为二面角ABED为锐角， 所以二面角ABED的大小为 6 . （2010 四川理数）四川理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的 中点. （）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线； （）求二面角 MBCB的大小； （）求三棱锥 MOBC 的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识， 并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结 AC，取 AC 中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结 OK 因为 M 是棱 AA的中点，点 O 是 BD的中点 D AB C D M O A B C 第 21 页 共 43 页 所以 AM 1 / 2 DDOK 所以 MO/AK 由 AAAK，得 MOAA 因为 AKBD,AKBB ，所以 AK平面 BDDB 所以 AKBD 所以 MOBD 又因为 OM 是异面直线 AA和 BD都相交 故 OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线 （2）取 BB中点 N，连结 MN，则 MN平面 BCCB 过点 N 作 NHBC于 H，连结 MH 则由三垂线定理得 BCMH 从而,MHN 为二面角 M-BC-B的平面角 MN=1,NH=Bnsin45= 122 224 : 在 RtMNH 中，tanMHN= 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角 M-BC-B的大小为 arctan22 (3)易知，SOBC=SOAD，且OBC 和OAD都在平面 BCDA内 点 O 到平面 MAD距离 h 1 2 VM-OBC=VM-OAD=VO-MAD= 1 3 SMADh= 1 24 解法二： 以点 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1) (1)因为点 M 是棱 AA的中点,点 O 是 BD的中点 所以 M(1,0, 1 2 ),O( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) 11 ( ,0) 22 OM ,AA =(0,0,1),BD =(-1,-1,1) OM AA :=0, 11 22 OM BD :+0=0 所以 OMAA,OMBD 又因为 OM 与异面直线 AA和 BD都相交 故 OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线.4 分 (2)设平面 BMC的一个法向量为 1 n =(x,y,z) 第 22 页 共 43 页 BM =(0,-1, 1 2 ), BC (1,0,1) 1 1 0 0 n BM n BC : : 即 1 0 2 0 yz xz 取 z2,则 x2,y1，从而 1 n =(2,1,2) 取平面 BCB的一个法向量为 2 n (0,1,0) cos 12 12 12 11 , 3| |9 1 n n n n nn : : 由图可知，二面角 M-BC-B的平面角为锐角 故二面角 M-BC-B的大小为 arccos 1 3 9 分 (3)易知，SOBC 1 4 SBCDA 12 12 44 : 设平面 OBC 的一个法向量为 3 n (x1,y1,z1) BD (1,1,1), BC (1,0,0) 3 1 0 0 n BD n BC : : 即 111 1 0 0 xyz x 取 z11,得 y11，从而 3 n (0,1,1) 点 M 到平面 OBC 的距离 d 3 1 |2 2 4|2 BM n : VMOBC 11221 334424 OBC Sd :12 分 （2010 天津文数）天津文数） （19） （本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA平 面 ABCD，BCAD，CD=1，AD= 2 2 ，BADCDA45. （）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； （）证明 CD平面 ABF； （）求二面角 B-EF-A 的正切值。 第 23 页 共 43 页 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查 空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故CED为异面直线 CE 与 AF 所成 的角. 因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 EDCD. 在 RtCDE 中，CD=1，ED=2 2，CE= 22 CDED=3,故 cosCED= ED CE = 2 2 3 . 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 . ()证明：过点 B 作 BG/CD,交 AD 于点 G，则45BGACDA .由 45BAD ,可得 BGAB,从而 CDAB,又 CDFA,FAAB=A,所以 CD平面 ABF. ()解：由（）及已知，可得 AG=2，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于 M，则GNM为二 面角 B-EF-A 的平面角。 连接 GM，可得 AD平面 GNM,故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM= 2 2 .由 NG/FA,FAGM,得 NGGM. 在 RtNGM 中，tan GM1 NG4 GNM, 所以二面角 B-EF-A 的正切值为 1 4 . （20102010 天津理数）天津理数） （19） （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别是棱BC, 1 CC 上的点，2CFABCE, 1 :1:2:4AB AD AA （1）求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值； （2）证明AF 平面 1 AED （3）求二面角 1 AEDF的正弦值。 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查 用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满 分 12 分。 第 24 页 共 43 页 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点 A 为坐标原点，设1AB ,依题意得(0,2,0)D, (1,2,1)F, 1(0,0,4) A, 3 1,0 2 E （1）解：易得 1 0,1 2 EF , 1 (0,2, 4)AD 于是 1 1 1 3 cos, 5 EF AD EF AD EF AD : 所以异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值为 3 5 （2）证明：已知(1,2,1)AF , 1 3 1,4 2 EA , 1 1,0 2 ED 于是AF 1 EA =0，AF ED =0.因此， 1 AFEA,AFED,又 1 EAEDE 所以AF 平面 1 AED (3)解：设平面EFD的法向量( , , )ux y z ，则 0 0 u EF u ED : : ,即 1 0 2 1 0 2 yz xy 不妨令 X=1,可得(1,2 1 u ）。由（2）可知，AF 为平面 1 A ED的一个法向量。 于是 2 cos,= 3 | | AF AF |AF| u u u ，从而 5 sin,= 3 AFu 所以二面角 1 A -ED-F的正弦值为 5 3 方法二：（1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 1 2 链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB1C，由 第 25 页 共 43 页 1 CECF1 = CBCC4 ,可知 EFBC1.故BMC是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM= 1 1 B C= 5 2 ,所以 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM : ,所以异面直线 FE 与 A1D 所成角 的余弦值为 3 5 （2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为 1 2 CDEC BCAB ，所以 Rt DCERt CBA:，从而CDEBCA ，又由于90CDECED,所以 90BCACED，故 ACDE,又因为 CC1DE 且 1 CCACC，所以 DE平面 ACF，从而 AFDE. 连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB1C,所以 AFA1D 因为 1 DEADD， 所以 AF平面 A1ED (3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF平面 ACF, A1N平面 ACF，所以 DENF,DEA1N,故 1 ANF为二面角 A1-ED-F 的平面角 易知Rt CNERt CBA:，所以 CNEC BCAC ，又5AC 所以 5 5 CN ，在 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN:中，在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1,A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F中， 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中，。所以 1 5 sin 3 ANF 所以二面角 A1-DE-F 正弦值为 5 3 （2010 广东理数）广东理数）18.（本小题满分 14 分） 第 26 页 共 43 页 如图 5，ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点 E 为AC的中点，点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点平面 AEC 外一点 F 满足5FBDFa，FE=6a 图 5 （1）证明：EBFD； （2）已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点，使得 22 , 33 BQFE FRFB,求平面 BED与平面RQD所成二面角的正弦值 （2）设平面BED与平面 RQD 的交线为DG. 由 BQ= 2 3 FE,FR= 2 3 FB 知, |QREB. 而EB 平面BDF，|QR平面BDF， 而平面BDF平面RQD= DG， |QRDGEB. 由（1）知，BE 平面BDF，DG平面 BDF， 而DR 平面BDF， BD 平面BDF， ,DGDR DGDQ， RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角 在Rt BCF中， 2222 ( 5 )2CFBFBCaaa， 第 27 页 共 43 页 22 sin 55 FCa RBD BFa ， 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 52 2 293 5 sin 2929 3 a RDB a 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是 2 29 29 （ （2010 广广东东文数）文数）18.（本小题满分 14 分） 如图 4，弧 AEC 是半径为a的半圆，AC 为 直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为 线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB=a5 （1）证明：EBFD （2）求点 B 到平面 FED 的距离. （1）证明：点 E 为弧 AC 的中点 第 28 页 共 43 页 （20102010 福建文数）福建文数）20 （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ， 且 EH/A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G。 （I）证明：AD/平面 EFGH； （II）设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记 该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在 第 29 页 共 43 页 棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为 棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . 第 30 页 共 43 页 第 31 页 共 43 页 （2010 四川文数）四川文数） （18） （本小题满分 12 分） 在正方体 ABCDABCD中，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的 中点. （）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线； （）求二面角 MBCB的大小； D AB C D M O A B C 第 32 页 共 43 页 （2010 湖北文数）湖北文数）18.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体 ABOC 中， OCOA。OCOB，AOB=120，且 OA=OB=OC=1 （）设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上且 AB=3AQ，证 明：PQOA； （）求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值。 第 33 页 共 43 页 （20102010 山东理数）山东理数）（19） （本小题满分 12 分） 第 34 页 共 43 页 如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=22，BC=2AE=4，三角形 PAB 是等腰三角形 （）求证：平面 PCD平面 PAC； （）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小； （）求四棱锥 PACDE 的体积 【解析】 （）证明：因为ABC=45，AB=22，BC=4，所以在ABC中，由余弦定理 得： 222 AC =(2 2) +4 -2 2 24cos45 =8 ，解得AC=2 2， 所以 222 AB +AC =8+8=16=BC，即ABAC，又 PA平面 ABCDE，所以 PAAB， 又 PAACA，所以ABAC 平面P，又 ABCD，所以ACCD 平面P，又因为 CDCD 平面P，所以平面 PCD平面 PAC； （）由（）知平面 PCD平面 PAC，所以在平面 PAC 内，过点 A 作AHC P于 H，则 AHCD 平面P，又 ABCD，AB平面CDP内，所以 AB 平行于平面CDP，所以点 A 到平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离，过点 B 作 BO平面CDP于点 O，则 PBO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，所以 1 sinPBO= 2 ，即PBO= 30，所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为30； （）由（）知ACCD 平面P，所以ACCD ，又 ACED，所以四边形 ACDE 是直 角梯形，又容易求得DE2，AC=2 2，所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 （），所以四棱锥 PACDE 的体积为 1 2 23 3 =2 2。 （2010 湖南理数）湖南理数） 第 35 页 共 43 页 第 36 页 共 43 页 第 37 页 共 43 页 （2010 湖北理数）18 (本小题满分 12 分) 如图， 在四面体 ABOC 中, ,120OCOA OCOBAOB 。 , 且1OAOBOC （）设为P为AC的中点， 证明： 在AB上存在一点Q， 使PQOA，并计算 AB AQ 的值； （）求二面角OACB的平面角的余弦值。 第 38 页 共 43 页 第 39 页 共 43 页 （20102010 福建理数）福建理数） 第 40 页 共 43 页 概率为p。 （i）当点 C 在圆周上运动时，求p的最大值； （ii）记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为(0 90 ) ，当p取最大值时，求 cos的值。 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几 何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。 【解析】 （）因为 1 AA平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 1 AABC， 因为 AB 是圆 O 直径，所以BCAC，又AC 1 AAA，所以BC平面 11 A ACC， 而BC 平面 11 B BCC，所以平面 11 A ACC 平面 11 B BCC。 （） （i）设圆柱的底面半径为r，则 AB= 1 AA =2r，故三棱柱 111 ABC-A B C的体积为 1 1 V =AC BC 2r 2 =AC BC r，又因为 2222 ACBC =AB =4r， 所以 22 AC +BC AC BC 2 = 2 2r，当且仅当AC=BC= 2r时等号成立， 从而 3 1 V2r，而圆柱的体积 23 V= r2r=2 r， 故p= 3 1 3 V2r1 =, V2 r 当且仅当AC=BC= 2r，即OCAB时等号成立， 所以p的最大值是 1 。 （ii）由（i）可知，p取最大值时，OCAB，于是以 O 为坐标原点，建立空间直角坐 标系O-xyz（如图） ，则 C（r，0，0） ，B（0，r，0） ， 1 B（0，r，2r） ， 因为BC平面 11 A ACC，所以BC=(r,-r,0) 是平面 11 A ACC的一个法向量， 第 41 页 共 43 页 设平面 1 BOC的法向量n=(x,y,z) ，由 1 nOC0 20 nOB rx ryrz 得，故 0 2 x yz ， 取1z 得平面 1 BOC的一个法向量为n=(0,-2,1) ，因为0 90 ， 所以 210 cos|cos,BC |= 5| |52 n BCr n nBCr 。 （2010 安徽理数）18、 （本小题满分 12 分） 如图，在多面体ABCDEF中，四边