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微分几何教案（九） 1.1简单曲面及其参数表示第二章 曲面论对于欧氏空间中曲面论的研究是经典微分几何的重要内容。本章在给出曲面的第一、第二基本形式的基础上，推导出曲面的高斯曲率，以及讨论曲面在一点邻近的形态与结构，直纹曲面的可展性，给出曲面论的基本定理，讨论曲面的几个内在性质1 曲面的概念1.1 简单曲面及参数表示一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线:平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域叫初等区域。例如 正方形或矩形，圆或椭圆的内部等都是初等区域。 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的映射的像叫简单曲面。 例如 矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面或其它柱面，如果纸片是橡皮膜，还可进一步使它变为圆环面。所以圆柱面、圆环面都是简单曲面。 注：以后讨论的曲面都是简单曲面二 （简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、曲纹坐标设G是初等区域，G中点的笛氏坐标是(u,v),G在空间的一一的双方连续的像是曲面S，S上的点笛氏坐标为（x,y,z),则x,y,z都是u,v的函数：x = x(u,v), y = y(u,v) , z = z(u,v) （1）， （1）叫做曲面S的参数方程或参数表示；u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。如果曲面上的点是由确定的，则叫的曲纹坐标，也叫曲线坐标，简称坐标，可记为或。 S的方程也可以写成 叫做曲面S的矢量式参数方程。例1 圆柱面的参数方程是 ，曲纹坐标是 ，G是长条形： 。例2 球面的参数方程是： ，曲纹坐标是， G是长方形： ，。例3 xoz平面的曲线绕z轴旋转xyzM(x,y,z)生成的旋转曲面的参数方程是G是长条形： 2 坐标曲线 初等区域G所在平面的坐标直线v=常数或u=常数在曲面S上的像称为曲面的坐标曲线。 v=常数，u变动的曲线叫u-曲线； u=常数，v变动的曲线叫v-曲线。两族坐标曲线在曲面上构成的曲线网，称为曲面上的曲纹坐标网。例1 对于圆柱面 。- 曲线：是垂直于z轴的平面和圆柱面的交线,是纬圆 ; v-曲线: 是圆柱面的直母线.例2 对于球面-曲线: 是半大圆 , 过两极-也
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