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微分几何教案（五） 空间曲线：4.1空间曲线的密切平面 4.2 空间曲面的基本三棱形4 空间曲线本节内容：研究空间曲线的基本理论，研究刻画空间曲线在某一点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量曲率和挠率，以及曲线在一点邻近的近似形状。复习内容：切线、切向量；对自然参数的导矢是单位向量；具有固定长；单位向量对于t的旋转速度等于其微商的模。 一 空间曲线的密切平面、副法线PQ1 密切平面、副法线的定义：过曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面，当Q点沿着曲线趋于P点时平面的极限位置 称为曲线在P点的密切平面。密切平面在P点的法线称为曲线在P点的副法线。2 密切平面、副法线的方程设曲线(c)为类曲线，P点的径矢 。，当时，。如果，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P点完全确定了密切平面，方程是：副法线方程：副法线的标准方程是：。注：若，表示的点处密切平面不存在。这样的点叫逗留点，否则叫非逗留点。以后总假定曲线上的点是非逗留点。密切平面是在P点与曲线最“贴近”的平面。3结论: 曲线(C)是平面曲线曲线(C)的密切平面固定。证明：“” 若(C)是平面曲线，由密切平面定义，曲线在每一点的密切平面都是曲线(C)所在平面，因此密切平面固定。“”：如果曲线(C)的密切平面固定，则这个固定的密切平面经过曲线上每一点，所以曲线是平面曲线。例 求螺线x = cost, y = sint, z = t上点（1，0，0）的密切平面及副法线。解：. 密切平面：y-z=0, 副法线。二 空间曲线的基本三棱形1 曲线的从切面、主法线定义：对类曲线上一点P，已定义了两条互相垂直的直线：切线、副法线；已定义了两个互相垂直的平面：法面、密切平面。我们把密切平面与法平面的交线叫曲线在P点的主法线，把切线与副法线决定的平面叫曲线在P点的从切面。2 曲线的基本向量，基本三棱形副法设曲线(C)的方程为，P是曲线上对应t的一点，则是P点的一个切向量，我们称为单位切向量；是P点副法线上的一个向量，称为副法向量；为主法向量，它是主法线上的一个方向向量。也都是单位向量，切两两垂直且成右手系。法从切密切定义 称曲线在P点的两两正交的单位向量为曲线在P点的伏雷内标架，也称为曲线在P点的基本向量；由三个基本向量和密切平面、法平面、从切面所构成的图形叫曲线在P点的基本三棱形。1 基本向量的计算设曲线的方程是：，已知，所以 。用自然参数表示是：。证明： ，上述基本向量的表达式对自然参数也成立，将其带入上述表达式，然后用即可求出。（注意）。例 求螺旋线x = cost, y = sint ,
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