数值变量的统计描述SSH.ppt

第二讲： 定量变量的统计描述,一、频数表与频数分布图 （Frequency table/ Frequency distribution figure),二、集中趋势的统计描述 （Description of central tendency),【教学内容】,三、离散趋势的统计描述 （Description of tendency of dispersion),【教学要求】,了解频数分布表的编制方法及应用,掌握数值变量资料的集中趋势、 离 散趋势常用统计描述指标，及各自 的应用。,统计描述,总体估计：即参数估计，包括点值估计和区间估计,假设检验： t-test u-test x2-test,定量资料,离散趋势,集中趋势,定性资料：率、构成比、相对比等,统计图,统计推断,统计学指标,统计表,统计分析内容,例2.1 某市 100名8岁男童的身高资料（cm）,目的：描述该组8岁男童身高的分布规律。,问题1.该组男童平均身高多少？,问题4. 用表/图表示身高分布？,问题2.身高范围？最高多少？最低多少？,问题3.身高主要集中在哪个范围?,?,一、数值变量资料的 频数表与频数分布图,例2.1 某市 100名8岁男童的身高资料（cm）,例2-1 某妇产科医生观察1402名临产母亲的体重（kg)资料,频数( frequency )：指在一个抽样资料中，某变量值出现的次数。,（一）基本概念：,频数分布表（frequency distribution table）： 将各数值变量的值及其相应的频数列表，简称频数表。频率是表示频数出现机率的指标，可用百分数或小数表示，频率的和为100%或1。 .,频数表作用： 简化数据，方便阅读，显示数据的分布规律,（二）连续型变量频数表的编制方法：,步骤：, 求全距(Range,简记R ):是一组资料中 最大值（Xmax）与最小值（Xmin）之差，亦称极差。,全距（ R）= Xmax - Xmin =143.3 116.2 = 27.1（cm）,2. 定组距：将全距分为若干段，称为组段。 组与组之间的距离，称为组距；用小写i 表示。,原则:（1）“组段”数一般为10-15个； （2）“组距”一般为R/10取整； （3）为计算方便根据组距采取取整数方法,本例题： 组距（i）=全距/ 预分组段= 27.1 /10=2.713（cm）,3.写组段：即将全距分为若干段的过程。,原则:（1）第一组段要包括Xmin，最末组段包括 Xmax ； （2）每组段均用下限值加 “ ”表示，最终组段同时注明上下限。,注意：各组段不能重叠，每一组段均为半开半闭区间。,4. 列表划记：根据预定的组段和组距，用 划记的方法整理原始资料。,频数分布图（frequency distribution figure） ： 根据频数分布表，以变量值为横坐标，频数为纵坐标，绘制的直方图。,图3.1 某市100名8岁男童身高(cm)的频数分布,身高(cm),频数,（三）频数表的用途：,1.揭示频数的分布特征,离散趋势 （tendency of dispersion),集中趋势与离散趋势结合能全面反映频数的分布特征,集中趋势 （central tendency),2.揭示频数的分布类型,频数 分布,偏态 分布,正偏,集中部位在中部，两端渐少，左右两侧的基本对称，为对称（正态）分布。,对称 分布,集中部位偏于较小值一侧(左侧)，较大值方向渐减少，为正偏态分布。,集中部位偏于较大值一侧(右侧)，较小值方向渐减少，为负偏态分布。,4. 样本含量足够大时，以频率作为概率的估计值。,3.便于发现某些特大或特小的可疑值。,5.作为陈述资料的形式。,图3.1 某市100名8岁男童身高(cm)的频数分布,身高(cm),频数,二、数值变量资料的 集中趋势指标,算术均数 几何均数 中位数、百分位数,集中趋势:用于描述一组计量资料的集中位置，说明这种变量值大小的平均水平，常用平均数（average）表示。,注意:1.同质的事物或现象才能求平均数,包括,.应根据资料分布状态选用适当的均数。,（一） 算术平均数（arithmetic mean）, 简称：均数（mean） 使用条件：数据分布比较均匀呈正态分布或近似正态分布。 样本均数用符号：X 表示 总体均数用符号：表示 计算方法有两种：直接法（小样本）和加权法（大样本）,（1）直接法：,举例： 某地10名18岁健康男大学生身高为（cm）： 168.7, 178.4, 170.0, 170.4, 172.1, 167.6, 172.4, 170.7, 177.3, 169.7 求平均身高?,答：,（2）加权法：,方法：计算各组段的组中值 Xi与其频数f i的乘积和f x，然后除以总频数f。,公式：,适用范围：大样本含量的分组资料或频数表资料。,举例: 用加权法计算某市8岁男童身高平均数(表3.1 ),计算各组段的组中值xi、fxi和fx,答：,组中值? 第1组段:, 用加权法计算该组身高值的均值,总身高/总人数,数据加权的意义,加权用于表示某数据值在整个数据资料中的权重 举例1：12=1*101+2 举例2：杂拌糖例子 设软糖5元/斤，硬糖8元/斤，酒心糖10/斤，问 5斤软糖 3斤硬糖， 2斤酒心糖，应卖多少钱一斤 答： (5*5+3*8+2*10)/10=6.9 总钱数/总斤数 举例3：食堂买菜例子 举例4：评委打分和观众打分,均数的特性：,),(,（1）各离均差的总和等于零。,离均差是指变量值与均值之间的差异，即 。,说明均值位于全部观察值的中央。,均值的特征：,（2）离均差的平方和小于各变量值X与任何数( ) 之差的平方和。,即：,说明均值与全部观察值的总距离最小，即：对全部观察值的代表性最好。,算术平均数的适用范围： 它适用描述一组性质相同的、单峰、且对称分布的（特别是正态分布的），且观察值之间差异不大的定量资料，此时均数最能反映分布的集中趋势，位于分布的中心。,给一组定量资料，如何判断是否适合选用算术均数来表达其平均水平呢？,1.小样本采用目测法：将数据由小到大排列后， 较小和较大的数据个数基本相等， 关于最中间的数据基本对称。,举例： 9名正常成年人非蛋白氮（mg/100ml)含量,20.1 22.3 23.4 24.8 25.7 26.9 28.2 31.4 34.3,?,举例：某地100正常成年人非蛋白氮(mg/100ml) 含量,.大样本采用频数表法： 将其按一定组距分组，比较各组段的频数。 居中的组段内频数最大 该组前后的组段内的频数逐渐减少且基本对称,3 计算机软件法 使用统计软件 SPSS、SAS等的频数统计命令,练习:求120例正常人血浆125I-T3树脂摄取比值的均数,答:,（一）编制频数分布表：,全距（ R）= Xmax - Xmin =1.24 0.78 =0.46,1.求全距（R）：,组距（i）=全距/ 预分组段= 0.46 /100.05,3.定组段：,3.划表列记：,（二）用加权法计算均值：,均值：,修正均数,也称截尾平均值 (Trimmed Mean) 刪除最大及最小各2.5或5（或任何研究者认为合理之比率）后计算余下数据之平均值。 截尾平均值的能平衡平均值及中位数之优劣，缺点为样本数目因去除极端值后而减少。 例子：评分中，去掉一个最高分，去掉一个最低分,对下列数据求均数合适吗？ 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 算术均数 =（1+2+4+8+)/11=186.09,（二） 几何均数（geometric mean, G）, 概念：对一组观察值，先进行对数变换，按算术均数计算方法求其对数值的均数，该均数的反对数值即几何均数（G）。 使用条件：用于原始数据分布呈偏态分布，等比资料（倍数变化）或对数正态分布资料的平均数的计算。 表示符号：G 计算方法：直接法和加权法,（1）直接法：,方法：将n个观察值（X1，X2，X3，Xn）直接相乘再开n次方。,公式：,适用范围：小样本资料,用对数形式表示为：,当数值为负数时，可以加一个常数项再取对数 lgY=lg10(X+K),几何均数（geometric mean）,几何均数：变量对数值的算术均数的反对数。,其他对数（如自然对数）变换获得相同的几何均数,举例：设有5份血清样品，滴度分别为： 1:1, 1:10, 1:100, 1:1000, 1:10000 求其平均滴度。,答：,G,或 Glg-1(lg1+lg10+lg100+lg1000+lg10000)/5) lg-1(0+1+2+3+4)/5) lg-12 =100 102,即：平均滴度为1：100；较好地代表了观察值的平均水平。,（2）加权法：,公式：,适用范围：大样本含量的分组资料或频数表资料。,Glg-1 (f lgX/n),举例：有95名麻疹易感儿童，接种麻疹疫苗一个月后，血凝抑制抗体滴度见下表，试求平均滴度（例3.3）。,Glg-1 (f lgX/f )lg-1(145.0948/95) =lg-1(1.53)=101.5333.68,答：,即95名易感儿童接种疫苗一个月后，血凝抑制抗 体的 平均滴度为1:33.68。,计算几何均数（G ）注意事项： （1）观察值不能为0； （2）观察值不能同时有正有负； （3）同一组资料求得的几何均数小于算术均数。,课堂练习：,1.有8份血清的抗体效价分别为： 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:80, 1:160, 1:320, 1:640 求平均抗体效价。,2.有50人的血清抗体效价，分别为： 5人1:10, 9人1:20, 20人1:40, 10人1:80, 6人1:160 求平均抗体效价。,解答：,1.有8份血清的抗体效价分别为： 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:80, 1:160, 1:320, 1:640 求平均抗体效价。,答：,将各抗体效价的倒数代入公式：,所以血清的抗体平均为1:56.57,解答：,2.有50人的血清抗体效价，分别为： 5人1:10, 9人1:20, 20人1:40, 10人1:80, 6人1:160 求平均抗体效价。,答：,将各抗体效价的倒数代入公式：,所以该50人的血清抗体效价为1:41.70,问题：下列数据用那种指标表示集中趋势更合适些,1 99 100 101 1000000 算术均数？ 200060.2 几何均数？251.86 显然都不合适 2. 国家统计局发布了2011年城镇居民人均总收入23979元，问了许多人感觉没有这么高。 目前基尼指数用来表现一个国家和地区的财富分配状况，按照联合国有关组织规定：低于0.2收入绝对平均0.2-0.3收入比较平均0.3-0.4收入相对合理0.4-0.5收入差距较大0.5以上收入差距悬殊 中国大陆基尼系数2011年超过0.55，已跨入收入差距悬殊行列，财富分配非常不均，两级分化严重。超过中国社会和国际社会的容忍度，中国基尼系数高于所有发达国家（如日本基尼系数仅为0.23） 80%的财富20%的人掌握,（三）中位数（Median，M）, 概念：把一组变量值从小到大排列，位于中间位置的变量值叫中位数，用M表示。 使用条件：当一组资料类型分布不清或明显 偏态分布时的平均数的计算。 表示符号：M 计算方法：直接法和加权法,百分位数（Percentile，P）, 概念：为一种位置指标，表示位于全部观察值第X%位置处的数值。一个Px将总体或样本的全部观察值分为两部分，理论上有X%的观察值比它小，（100-X）%的观察值比它大，P50分位数即是中位数。 表示符号：x 计算方法: 频数表计算,P50 = M,0 25 50 75 100,小,大,M,P0 P25 P50 P75 P100,百分位数示意图,百分位数（percentile）,（1）直接法由原始数据计算中位数：,当n为奇数时：,例：有7个人的血压（收缩压mmHg）测定值为： 120，123，125，127，128，130，132 求中位数 ？,当n为偶数时：,例：10名食物中毒者的潜伏期分别为 1，2，2，3，5，10，15，16，24H试求中位数。,数据很多，参与计算的较少,课堂练习：,1.某病患者9名，发病潜伏期分别为顺序 2、3、3、3、4、5、6、9、16d，求中位数。,2.某病患者8名，发病潜伏期从小到大排分别为 5、6、8、9、11、11、13、16d， 求平均潜伏期。,答案：,（2）用频数表计算中位数和百分位数,按所分组段，由小到大计算累计频数和累计频率,代入公式计算中位数及其它百分位数,注：fm 、 fx为所在组的频数, i 为该组段的组距， L为其下限 ，fL为小于L的各组段的累积频数。,步骤：,中位数计算公式,百分位数计算公式,计算中位数时，X=50， 即M=P50。,百分位数在总观测值中顺序,其实是一个比例问题，i是组距，fx是需要计算的百分位数值，后面的就是 需要计算的百分位数值在中位数所在组段应占的频数， i fx ?,例：求164例沙门菌食物中毒病人潜伏期的中位数和百分位数P5、P95,2. 把 L=24、i=12、fx=44、fL=79代入公式, 求M。,3. 同样方法,可求P5、P95 。,练习：求238名正常人发汞值的中位数和百分位数P25、P75,答案：,（1）中位数： 常用于描述偏态分布资料的集中位置，反映位置居中的观察值的水平，它和均数、几何均数不同，不是由全部观察值的数量值综合计算出来的，只受居中变量值的影响，不受两端特大值和特小值的影响。因此，当分布的一端或两端无确定数值或资料的分布不清可以求中位数。 .,应用:,（2）百分位数： A.用于描述数据某一百分位的位置，最常用的是P50，即中位数；也可用多个百分位数的结合来描述一组资料的分布特征，如用P25和 P75合用时，反映中间50%观察值的分布情况。 B.用于确定参考值范围： WBC的95%参考值范围：P2.5 P97.5过高过低均异常 肺活量95%参考值范围：P5 过低异常 尿铅95%参考值范围：P95 过高异常 C.用一组PX可较全面地描述总体或样本的分布特征。,注意: 表达一组性质相同的定量资料的平均水平的指标共有4种，其中算术均数和几何均数要用到每一个数据的具体值才能计算出来，而中位数和百分位数只需知道数据的个数和相对大小就可确定，相对来说，它们对信息资料的利用率较低，因此，准确度不如前者。 .,(四）众数（mode）,众数是一组观察值中出现频率最高的那个观察值；若为分组资料，众数则是出现频率最高的那个组段的组中值。适用于大样本；较粗糙。 例 有16例高血压病人的发病年龄(岁)为：42,45,48,51,52,54,55,55,58,58,58,58,61,61,62,62，试求众数。,正态分布时： 均数中位数众数 正偏态分布时：均数 中位数 众数 负偏态分布时：均数 中位数 众数,（3）当资料呈负偏态分布时，中位数大于算术均数。,中位数和算术均数的关系:,（1）当资料呈对称分布（特别是正态分布）时，中位数在理论上等于算术均数。,（2）当资料呈正偏态分布时，中位数小于算术均数。,均数,中位数,均数,中位数,均数与观测值大小有关 中位数与观测值所在位置有关 众数与观测值频数大小有关,思考题：,某医院对内科进行一周工作效率调查。第1天6 h诊治患者42人，7人/h；第2天4 h诊治患者32人，8人/h；第3天7 h诊治患者35人，5人/h；第4天8 h诊治患者72人，9人/h ；第5天5 h诊治患者50人，10人/h。问该科室5天平均每小时诊治多少患者？ .,答案：,四、数值变量资料的 离散趋势指标,举 例：,有三组数据,甲：1 3 5 7 9 乙：1 4 5 6 9 丙：3 4 5 6 7,集中,5,5,5,=,=,=,丙,乙,甲,X,X,X,说明集中趋势是数据分布的一个重要特征，但单有集中趋势指标还不能很好地描述数据的分布规律。而且还要看数据的变异程度 。,观察值的离散趋势,离散程度大说明均数代表性差 离散程度小说明均数代表性好,离散趋势:用于描述一组数值变量观察值之间参差不齐的程度，即变异程度。,包括,极差（Range, R） 四分位数间距（Quartile, Q） 方差（Variance， ） 标准差（Standard deviation，S2） 变异系数（Cofficient of variation, CV）,（一） 极差（Range, 简称R）,计算：R=最大值最小值= Xmax - Xmin 意义：反映样本变量值的全范围。 条件：对变量值的各种分布类型的资料 都适用。 优点：简单明了，容易理解，使用方便。 缺点：仅考虑了极大值和极小值，未考虑 其它变量的个体差异。 建议：与其他离散指标共同使用。,2.样本例数越多，抽到极大值和极小值的可能性越大，故样本例数悬殊时不易比较极差。,极差的缺点：,1.R只考虑最大值和最小值之差，不能反映组内其它观察值的变异度。,3.即使样本例数不变，极差的抽样误差亦较大，即不够稳定。,（二） 四分位数间距（uartile, 简称）,计算：=-=P75-P25 意义：中间一半观察值的极差。 条件：对变量值的各种分布类型的资料 都适用。 优点：类似值但比其稳定。 缺点：未考虑全部观察值的变异度。 建议：与其他离散指标共同使用。,四分位数间距（ Quartile 用Q表示）,小,大,1 25 50 75 100,P1 P25 P50 P75 P100,QL,QU,下四分位数 上四分位数,QU QL= 四分位数间距,例：有164例沙门氏菌食物中毒病人的潜伏期（小时）， 求该潜伏期的四分位数间距。,P25 L i / f25 ( n25 % fL ) 12 12/58（16425%21） 16.14（小时） P75 L i / f 75 ( n75 % f L ) 24 12/44（16475%79） 36（小时） Q= P 75 - P 25 =36-16.14=19.86 （小时） 即该潜伏期的四分位数间距为19.86小时。,答：,四、数值变量资料的 离散趋势指标,离散趋势:用于描述一组数值变量观察值之间参差不齐的程度，即变异程度。,包括,极差（Range, R） 四分位数间距（Quartile, Q） 方差（Variance， ） 标准差（Standard deviation，S2） 变异系数（Cofficient of variation, CV）,（三） 方差（ Variance, 简称 ）,公式及来源：,极差和四分位间距未考虑全部观察值的变异度,应考虑总体中每个变量值x与总体均数之差；x-称为离均差。,分析：,为解决这个问题，给每项离均差平方后再相加，称离均差平方和， 即(x-)2。,甲：26 28 30 32 34,证明：,还有没有问题没考虑到？,离均差平方和的大小，除与变异度有关外，还与变量值的个数（多少）有关，为在变量值个数不等时进行比较，还要除以变量值的个数，所得值即为总体方差，用2表示：,2 =,总体方差：,公式中存在的问题？,根据以上公式研究的结果表明求得的样本方差总是偏小；为解决此问题，英国统计学家通过实验，用n-1代替可消除误差。,n-1 称为自由度（ degree of freedom ），用希腊字母nju:表示，表示随机变量能够自由取值的个数。,n-1 “自由度”是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数。这个定义可以从如下几个方面来理解： 第一，“统计量”（如样本数据的平均数X、样本数据的标准差） 理解：一共有10个座位坐10个人，前9个人都可以自由选取，最后一个没有办法自由了，因为只剩一个座位。 当样本均数和标准差，确定了之后，因为,如数据 1 2 3 要求离均差之和为0，这组均数为2， 数据 离差 1 -1 2 0 3 ？ 第三个数的离差是不能自由的只能是1,（n-1）称为自由度（ degree of freedom ），用希腊字母nju:表示，表示随机变量能够自由取值的个数。,方差:分总体方差 ，样本方差S2,计算： 意义：克服了值的不足，考虑了每个变量值的离散情况并消除了的影响。 优点：全面地考虑每个变量值的离散情况 缺点：其单位是原度量单位的平方。,总体方差,样本方差,（四）标准差（Standard deviation，SD或S）,方差的单位是原度量单位的平方，不便使用。,将方差公式展开，并开方，即得到另一个重要的离散趋势的指标，即标准差，简写为S。,公式来源：,总体标准差：,样本标准差：,标准差的计算:,利用(a-b)2展开原理, 直接法: 加权法:,（1）直接法：用于小样本资料,举例 现有一影像医生，测得10名患者的EA值分别为: 0.47, 0.60, 0.86, 0.96, 1.01, 1.13, 1.27, 1.58, 1.72, 2.88 试计算其标准差?,将X、X2代入公式：,甲乙丙对谁变异大？,甲：1 3 5 7 9 乙：1 4 5 6 9 丙：3 4 5 6 7,举例 计算100名8岁男孩身高的标准差,（2）加权法：用于大样本资料或频数表资料,代入公式：,标准差的意义和用途,说明资料的离散趋势(或变异程度)，标准差的值越大，说明变异程度越大，均数的代表性越差; .。 标准差与原始数据的单位一致，在科技论文报告中，均数与标准差经常被同时用来描述资料的集中趋势与离散趋势。 用于计算变异系数 用于计算标准误 结合均值与正态分布的规律，估计参考值的范围。,问题：,某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差4.71 cm；体重均数为22.29kg，标准差2.26kg。试比较其身高、体重的变异程度。 单位不同！ 2011年城镇居民人均收入23979元，标准差 1230 农村居民人均收入6977，标准差 120 试比较变异程度 均数相差较大,（五 ）变异系数：简称CV,概念：是同一组资料的标准差与均数之比，又叫变异度或离散系数。 计算： 实际含义：标准差相对于同组均数的百分比。 优点：CV 消除了度量衡单位，用于比较 1.单位不同的多组资料的变异度. 2.均数相差悬殊的多组资料的变异度,变异度CV的数值越小，说明 观察值的变异度越小，均数的代表性越好。,举例1：某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差4.71 cm；体重均数为22.29kg，标准差2.26kg。试比较其身高、体重的变异程度。,说明其体重的变异度大于身高的，即身高比体重稳定。,2011年城镇居民人均收入23979元，标准差 1230 农村居民人均收入6977，标准差 120 试比较变异程度 城镇 CV=2230/23979*100=9.30 农村CV=120/6977*100=1.72 说明城镇居民收入比农村居民收入变异大 变异系数实际是 单位均数的标准差，去除均数大小的影响,举例2：