空间向量的概念及运算.ppt

空间向量的概念及运算,1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量. 3.学会借助向量的坐标运算来证明线线垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算.,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为AC1的共有 个 ( ) ( + )+ ( + )+ ( + )+ ( + )+,D,A.1 B.2 C.3 D.4,2.已知O、A、B、C为空间四点，又 、 、 为空间的一个基底，则( ),D,A.O、A、B、C四点共线 B.O、A、B、C四点共面但不共线 C.O、A、B、C四点中有三点共线 D.O、A、B、C四点不共面,3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且ab,则( ),C,A.x=1,y=1 B.x= ，y=- C.x= ,y=- D.x=- ，y=,因为ab，所以 = = ， 所以x= ，y=- .,4.已知正四面体ABCD的棱长为1，点F、G分别是AD、DC的中点,则 = .,因为 = = ( - ), 所以 = ( - ) = ( - ) = ( -1) =- .,5.已知a、b是空间两向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|= , 则cosa,b= .,由|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2 =22-2ab+22 =7. 所以ab= ， 所以cosa，b=ab|a|b|= = .,一、空间向量及其加减与数乘运算 1.空间向量:在空间,我们把具有 和 的量叫做向量,空间向量也用 表示,并且 的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法， 减法与数乘向量为： = , = ， = (R).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a+b,a,空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律： (1)加法交换律: ； (2)加法结合律: ； (3)数乘分配律: . 二、共线向量与共面向量 1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b,记作ab.,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)=a+b,互相平行或重合,2.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0),ab的充要条件是存在实数使 . 3.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p= .,a=b,xa+yb,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使 = . . 三、空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意向量p,存在一个惟一的有序实数组x,y,z,使p= . 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组x,y,z,使 = .,x,+y,xa+yb+zc,x +y +z,四、两个向量的数量积 1.已知空间两个向量a,b,则a,b的数量积为:ab= ,其中a,b表示向量a，b的 ,其范围为 . 2.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量) (1)ae= ; (2)ab ; (3)|a|2= ;,|a|b|cosa,b,夹角,0，,|a|cosa,e,ab=0,aa,3.空间向量满足如下运算律： (1)(a)b= ； (2)ab= ; (3)a(b+c)= .,(ab),ba,ab+ac,题型一 空间向量线性运算及应用,例1,三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，G是ABC的重心，用基向量 , , 表示 和 .,要想用已知向量表示未知向量，只需结合图形，力扣基底，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可.,= + = + = + ( - ) = + ( + )- =- + + . = + = - + + = + + .,用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图形的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等等.,题型二 空间向量数量积及应用,例2,已知正方体ABCD-A1B1C1D1，CD1和DC1相交于点O,连接AO,求证:AOCD1.,因为 = + = + + = + + ( + ) = + + + = + + . = + =- + ， 所以 =( + + )(- + ) =- - - + + + =0. 所以 ，即AOCD1.,（1）利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化成向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明，但要注意“和向量”的方向. (2)由本例可以看出利用空间向量证明垂直问题要用到空间向量的加法法则，向量的运算以及数量积和垂直条件，是通过向量的计算来完成位置关系的判定.,如图所示，已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量 =k , =k , =k , =k ,求证： (1)四点E、F、G、H共面； (2)平面EFGH平面ABCD.,欲证四点共面,只需证明 , , 共面,利用A、B、C、D四点共面可证,利用向量的平行可以来证明线线平行,从而证得面面平行.,(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 = + , 则EG=OG-OE =k -k =k =k( + ) =k( - + - ) = - + - = + , 所以E、F、G、H共面.,(2)因为 = - =k( - )=k , 又由(1)的证明知 =k , 于是EFAB,EGAC, 所以EF平面ABCD,EG平面ABCD. 又EFEG=E,所以平面ABCD平面EFGH.,用向量共面来证明四点共线和用向量共线证明线线平行,从而证明面面平行，是立体几何中常用的向量方法.,题型三 空间向量基本定理及应用,例3,如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60，AA1=3,AB=AD=2. (1)求证：AA1BD； (2)求| |； (3)求cos ， .,条件较集中于点A处，故可取 , , 为解决问题的基向量,题中各问题中的有关向量,都用基向量来表示,再进行相应运算.,(1)证明： 因为 = ( - ) = - =32cos60-32cos60=0, 所以 ，即AA1BD.,(2)| |2= =( + + )2 = + + +2 +2 +2 =4+4+9+222cos60+223cos60 +223cos60 =33， 所以| |= .,(3)在A1AB中，由余弦定理， 得A1B2=9+4-223cos60=7，即A1B=7. 又 = - ， 所以 = ( - ) = - =22cos60-23cos60=-1. 所以cos , = = = .,本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明的一般方法，在复习中，应加强这方面的思考.,如图，直三棱柱ABCABC中,BCAB,BCAC,求证：AB=AC.,（证法一）向量基底法. = + , = + ， = + . 因为BCAB，所以 =0， 即( + )( + )=0, 所以 + =0. 同理，由BCAC 可得 + =0.,因为直三棱柱ABCABC,所以 = , 故 + =0. +得( + ) =0. 又 = - ，所以| |2=| |2. 将 = + 两边平方得 = + ， 将 = + 两边平方得 = + , 即 = + , 所以 = ,即AB=AC.,(证法二)向量坐标法. 以AB所在直线为x轴，在平面ABC上以过A且垂直于AB的直线为y轴，AA所在直线为z轴，建立直角坐标系. 设有关点的坐标为A(0,0,0), B(b,0,0),A(0,0,a),C(x,y,0), 则B(b,0,a),C(x,y,a). 从而 =(b,0,a), =(x,y,-a), =(x-b,y,a).,因为 ,所以(x-b,y,a)(b,0,a)=0, 所以a2=b2-bx. 同理,由 可得a2=x2-bx+y2， =a2+b2=2b2-bx, =x2+y2+a2， 代入得 =2b2-bx, 所以 = ，故| |=| |， 即AB=AC.,1.适当选取三个不共面的向量作为基底，把已知条件转化为各个向量间的关系，通过运算得到结果，这就是向量法解立体几何题的重要策略之一：基底法. 2.建立适当的坐标系，设出相关点的坐标，表示出相关向量，把已知条件转化为各向量间的关系，通过运算得到结论，这也是向量法求解立体几何题的重要策略：坐标法.,1.利用向量解几何问题的基本方法是：把向量或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明.关键是基底或坐标系的选取和运算变形能力. 2.注意一些常用结论 (1)基本定理：给定空间向量的一个基底a,b,c，对于空间任一向量p存在惟一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.,(2)共线、垂直的充要条件:aba=b(b0),ab ab=0. (3)共面的充要条件:p,a,b共面p=xa+yb(a/b). (4)长度、夹角公式:|a|= ,cosa,b= .,a+ b+ c,(2007安徽卷)在四面体O-ABC中， =a, =b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点,则 = (用a,b,c表示).,= ( + ) = ( + )+ = + + = a+ b+ c.,(2009海南/宁夏卷)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD; (2)若SD平面PAC,求二面 角P-AC-D的大小; (3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E，使得 BE平面PAC?若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,（方法一）(1)证明：连接BD， 设AC交BD于O，由题意知SOAC. 在正方形ABCD中,ACBD, 所以AC平面SBD， 得ACSD.,(2)设正方形的边长a， 则SD a. 又OD= a，所以SDO=60. 连OP.由(1)知AC平面SBD， 所以ACOP，且ACOD， 所以POD是二面角P-AC-D的平面角. 由SD平面PAC，知SDOP， 所以POD3， 即二面角P-AC-D的大小为3.,(3)在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC. 由(2)可得PD= a， 故可在SP上取一点N，使PNPD. 过N作PC的平行线与SC的交点即为E. 连接BN. 在BDN中知BNPO. 又由于NEPC,故平面BEN平面PAC，得BE平面PAC. 由于SNNP=21，故SEEC=21.,（方法二）(1)证明:连接BD,设AC交BD于O，由题意知，SO平面ABCD.以O为坐标原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立坐标系O-xyz，如图. 设底面的边长为a，则高SO= a. 于是S(0,0, a),D(- a,0,0), C(0, a,0), =(0, a,0), =(- a,0,- a), 由 =0， 得OCSD,从而ACSD.,(2)由题设知，平面PAC的一个法向量