10[1].3《几何概型》

第三节 几何概型A组1.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图|xy|xy，x(0,1)，y(0,1)，设阴影部分的区域面积为d，可知d，整个正方形的面积为D，可知D1，则所求概率P.答案：2在等腰直角三角形ABC中，若M是斜边AB上的点，则AM小于AC的概率为_解析：可用相应线段长度之比来度量，易知P.答案：3(2009年高考山东卷)在区间，上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为_解析：当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.答案：4平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_解析：如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.答案：5(原创题)向面积为S的ABC内任投一点P，则PBC的面积小于的概率为_解析：SPBCSABC，h(其中h为PBC中BC边上的高，h为ABC中BC边上的高)，设DE为ABC的中位线，则点P应在梯形BCED内(如图阴影部分)，P.答案： B组1(2009年高考福建卷)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_解析：设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M).答案：2(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为_解析：设所求的面积为S，由题意得，S36.答案：363在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为_解析：P.答案：4(2010年扬州调研)已知集合Ax|1x0，在集合A中任取一个元素x ，则事件“xAB”的概率是_解析：由题意得Ax|1x5，Bx|2xR，此时N1ON2180，故所求的概率为.答案：7已知(x，y)|xy6，x0，y0，E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向区域内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为_解析：如图，区域表示的平面区域为AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为COD边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的概率为.答案：8已知函数f(x)x2axb.若a、b都是从区间0,4任取的一个数，则f(1)0成立的概率是_解析：f(1)1ab0，即ab1，如图：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC，P.答案：9在区间0,1上任意取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为_解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上单调递增，又因为函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点，即有f(1)f(1)0成立，即(ab)(ab)0，可化为或由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a0，a1，b0，b1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为.答案：10设不等式组表示区域为A，不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率解：(1)设集合A中的点(x，y)B为事件M，区域A的面积为S136，区域B的面积为S218，P(M).(2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为36个，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N).11(2010年江苏南通模拟)已知集合Ax|1x0，集合Bx|axb2x10,0a2,1b3(1)若a，bN，求AB的概率；(2)若a，bR，求AB的概率解：(1)因为a，bN，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组令函数f(x)axb2x1，x1,0，则f(x)abln22x.因为a0,2，b1,3，所以f(x)0，即f(x)在1,0上是单调递增函数f(x)在1,0上的最小值为a1.要使AB，只需a10，即2ab20.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组所以AB的概率为.(2)因为a0,2，b1,3，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.由(1)可知，要使AB，只需f(x)mina102ab20，所以满足AB的(a，b)对应的区域是如图阴影部分所以S阴影1，所以AB的概率为P.12将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(a1)的概率解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1xy，则基本事件组所对应的几何区域可表示为(x，y)|0x1,0y1,0xy1，此区域面积为.事件“三段的长度都不超过a(a1)”所对应的几何区域可表示为A(x，y)|(x，y)，xa，ya,1xya即图中六边形区域，此区域面积：