2014世纪金榜第五章第三节.ppt

第三节 等比数列,1.等比数列及其相关概念,前一项,同一个常数,常数,q,G2=ab,2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_ _. 3.等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_. (2)当公比q1时,Sn= = .,an=a1qn-1,(nN*),na1,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)满足an+1=qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab.( ) (3)如果an为等比数列，bn=a2n-1+a2n，则数列bn也是等比数 列.( ) (4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列. ( ),【解析】(1)错误.q=0时an不是等比数列. (2)错误.G为a,b的等比中项G2=ab；反之不真，如a=0, b=0,G=0. (3)错误.如数列1,-1,1,-1，. (4)错误.数列an中可能有小于零的项. 答案：(1) (2) (3) (4),1.在等比数列an中，a18，a464，则公比q为_. 【解析】由 可得q=2. 答案:2,2.在等比数列an中，a1=1，公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5，则m=_. 【解析】am=qm-1，a1a2a3a4a5=q10，所以qm-1=q10，所以m=11. 答案：11,3.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且 9S3=S6，则数列 的前5项和为_. 【解析】9S3=S6，q1，9 ，即1+q3=9，解 得q=2，由等比数列的性质知 是以 =1为首项， 为 公比的等比数列，则其前5项和为 答案：,4.已知an是等比数列，a2=2,a5= ，则a1a2+a2a3+anan+1= _. 【解析】由a5= =a2q3=2q3，解得q= .数列anan+1仍是 等比数列，其首项是a1a2=8，公比为 .所以, a1a2+a2a3+ +anan+1= 答案：,5.设等比数列an的前n项和为Sn，若 =3，则 =_. 【解析】设数列an的公比为q ,则 1q3 3q32, 于是 答案：,6.已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n (n3)，则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n-1=_. 【解析】由a5a2n-5=22n(n3)得an2=22n，又an0，an=2n，log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+(2n-1)=n2. 答案：n2,考向 1 等比数列的基本运算 【典例1】(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=_. (2)(2012辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且a52 =a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列an的通项公式an=_.,【思路点拨】(1)根据a4+a7=2，a5a6=-8,列方程组求出首项和公比的三次方，根据通项公式计算，或者根据等比数列的性质求解. (2)根据a52=a10,2(an+an+2)=5an+1列方程解出首项和公比，再代入等比数列通项公式得出结果.,【规范解答】(1)方法一：设数列an的公比为q.由题意， 或 解得 或 当 时，a1a10a1(1q9)1(2)37； 当 时，a1a10a1(1q9)(8)1+(- )3 7.综上，a1a107.,方法二：因为an为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，又a4+a7= 2，所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.根据等比数列性质，a1,a4, a7,a10也成等比数列.若a4=4,a7=-2，得a1=-8,a10=1，a1+a10= -7；若a4=-2,a7=4，得a10=-8,a1=1，仍有a1+a10=-7. 答案：-7,(2)a52=a10,(a1q4)2=a1q9, a1=q,an=qn, 2(an+an+2)=5an+1,2an(1+q2)=5anq, 2(1+q2)=5q, 解得q=2或q= (舍去)，an=2n. 答案：2n,【拓展提升】 1.等比数列基本运算方法 (1)使用两个公式，即通项公式和前n项和公式. (2)使用通项公式的变形：an=amqn-m. 2.等比数列前n项和公式的应用 在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.,【变式训练】(1)(2013泰州模拟)数列an中，an+1=3an+2 (nN*),且a10=8，则a4=_. 【解析】由an+1=3an+2，得an+1+1=3(an+1)，即数列an+1是公 比为3的等比数列，所以a10+1=(a4+1)310-4，所以a4+1= ， 所以a4=- . 答案：-,(2)在公比为整数的等比数列an中，若a1+a4=18,a2+a3=12,则 该数列的前8项和等于_. 【解析】设公比为q， 即 ，即 2q2-5q+2=0，由于q为整数，故得q=2，代入a1+a4=18，解得 a1=2，故S8= =510. 答案：510,考向 2 等比数列的判定与证明 【典例2】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，证明数列an-1为等比数列，并求出数列an的通项公式. 【思路点拨】建立an,an+1之间的关系式，然后利用定义法证明,再求出数列an-1的通项公式,可得an的通项公式.,【规范解答】由Sn=n-5an-85,nN* ， 可得：a1=S1=1-5a1-85，即a1=-14. 同时Sn+1=(n+1)-5an+1-85 ， 从而由-可得：an+1=1-5(an+1-an)， 即an+1-1= (an-1),nN*，从而an-1为等比数列，首项为a1 -1=-15，公比为 ，通项公式为an-1=-15( )n-1，从而an= -15( )n-1+1.,【互动探究】把本例中“Sn=n-5an-85”改为“Sn=2an-2n”，试证明：an+1-2an是等比数列. 【证明】因为a1=S1,2a1=S1+2，所以a1=2， 由a1+a2=2a2-4得a2=6. 由于Sn=2an-2n，故Sn+1=2an+1-2n+1，后式减去前式得an+1=2an+1-2an-2n，即an+1=2an+2n， 所以an+2-2an+1=2an+1+2n+1-2(2an+2n)=2(an+1-2an)，所以数列an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.,【拓展提升】等比数列的判断方法,【提醒】只满足an+1=qan(q0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a10.,【变式备选】已知数列an的首项a1= ，an+1= ，n=1,2, 3,，证明数列 -1是等比数列，并求an的通项公式. 【解析】an+1= ， ，又a1= ， 数列 -1是以 为首项， 为公比的等比数列. 此时,考向 3 等比数列性质的应用 【典例3】(1)(2013淮安模拟)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是_. X+Z=2Y； Y(Y-X)=Z(Z-X)； Y2=XZ； Y(Y-X)=X(Z-X).,(2)设an是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条 件a11,a99a100-10, 0，给出下列结论： 0q1；T1981；a99a1011；使Tn1成立的最小自然数 n等于199，其中正确的编号为_.,【思路点拨】(1)根据等比数列的定义及性质分析X,Y,Z之间的关系，并作出判断.(2)分析已知条件，得出a99,a100的性质，再结合a10及数列的其他性质，逐个分析判断四个结论的对错. 【规范解答】(1)由于等比数列an中Sn=X,S2n=Y,S3n=Z，根据等比数列的概念，当公比不等于-1时，对应的Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，即X,Y-X,Z-Y成等比数列，则有(Y-X)2= X(Z-Y)，即Y2-XY=XZ-X2，即Y(Y-X)=X(Z-X). 答案：,(2)根据等比数列的概念，如果等比数列的公比是负值，则其 连续两项的乘积是负值，根据a99a100-10，可知该等比数列的 公比是正值，再根据 1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递 减，所以01,a1001，故不正 确；T199=a1a2a100a198a199=(a100)1991，故正确. 答案：,【拓展提升】等比数列的主要性质 公比为q的等比数列an具有下列基本性质： (1)单调性：,(2)项的性质：am-kam+k=am2 (mk,m,kN*)； m+n=k+laman=akal,m+n=2kaman=ak2 (m,n,k,l为正整数，公比q1). (3)和的性质：若其前n项和为Sn，则在q-1时，Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,S4n-S3n,成等比数列. (4)其他性质：如果an为等比数列，根据等比数列的定义可知数列a2k-1,a2k,a3k-2,a3k-1,a3k等都是 等比数列.,【变式训练】(1)在等比数列an中，a5a11=3,a3+a13=4，则 =_. 【解析】在等比数列an中， a5a11=a3a13=3,a3+a13=4, a3=1,a13=3或a3=3,a13=1, 当a3=1,a13=3时，q10=3, =q10=3, 当a3=3,a13=1时，q10= , =q10 . 答案：3或,(2)设an是首项大于零的等比数列，则“a11,又a10，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列且a10 ，则公比q1，所以a1a1q，即a1a2，所以a1a2是数列an是递增数列的充分必要条件. 答案：充分必要,【创新体验】数列函数交汇创新题 【典例】(2013中山模拟)已知：函数f(x)在(-1,1)上有定义，f( )=-1，且对x，y(-1,1)有f(x)+f(y)=f( ). (1)试判断函数f(x)的奇偶性. (2)对于数列xn，有x1= ,xn+1= ,试证明数列f(xn)成等比数列. (3)求证：,【思路点拨】,【规范解答】(1)在f(x)+f(y)=f( )中， 令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0), 再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0)，f(0)=0, f(-x)=-f(x)，即函数f(x)为奇函数. (2)由xn+1= 得 1，等号当且仅当|xn+1|=1时成立，当xn+1=1 时，根据xn= 得xn=1,进而xn-1=xn-2=x1=1，与已知x1= 矛盾，故xn+11,同理xn+1-1,故 1,-1 f(xn+1)=f( )=f(xn)+f(-xn+1)， 函数f(x)为奇函数，f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1)，即2f(xn+1)=f(xn). xn0否则与x1= 矛盾，f(xn)f(0)=0 (或f(xn)= =f(xn+1)+f(xn+1)=2f(xn+1), ，f(x1)=f( )=-1, f(xn)是以1为首项， 为公比的等比数列.,(3)根据(2)可得f(xn)= f(x1)+f(x2)+f(xn) =-( )=-2+ 又nN*, -2， f( ).,【思考点评】 1.方法感悟：特殊值法的使用，在第一问中给定已知函数定义域内的特殊值f(0)是解题的关键环节之一，再在得出函数f(x)是奇函数的情况下，在第二问中使用这个性质和已知的函数方程是本题的第二个关键环节，第三问使用第二问的结果，只要简单比较即得.这种环环相扣的解题过程在综合解答题中非常普遍，通过本题要体会这种解题过程. 本题中还要注意证明一个数列是等比数列时一定不要忽视证明其首项不等于零.,2.技巧提升：只给出函数满足的某些性质而没有给出解析式的函数问题，我们通常称为抽象函数问题，解决抽象函数问题的基本技巧之一就是特殊值法，通过取特殊值找到关键的函数值，实现问题的突破.,1.(2012安徽高考改编)公比为 的等比数列an的各项都 是正数，且a3a11=16，则log2a16=_. 【解析】由a3a11= =16，解得a7=4，a16=a7q9=32，所以log2a16=log232=5. 答案：5,2.(2013淮安模拟)已知等比数列an的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=_. 【解析】设公比为q，则a1(1+q+q2)=21, 1+q+q2=7,q2+q-6=0,q=2或q=-3(舍)， a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=2123=168. 答案：168,3.(2012北京高考改编)已知an为等比数列，下面结论中正确的是_. a1+a32a2； 若a1=a3，则a1=a2； 若a3a1，则a4a2.,【解析】的结论不正确，a1,a3不一定都是正数，所以不能 使用基本不等式；的结论正确，因为 ，所以由基 本不等式可得 2a1a3=2 ；中的结论不正确，由a1= a3可得q=1.当q=1时，a1=a2；当q=-1时，a2=-a1；中的结 论不正确，因为a4=a3q,a2=a1q，所以当q0时，a4a2；当q0 时，a4a2. 答案：,4.(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项 和为Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_. 【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2相减可得 a3+a4=3a4-3a2，同除以a2可得 2q2-q-3=0，解得q= 或q=-1