2010现代设计方法作业讲解3.ppt

2010现代设计方法作业讲解,3-14 对于下列模型，试用K-T条件判断点（1，0）是否为约束极值点。,解： （1）起作用约束,（2）梯度,（3）,满足K-T条件，点（1，0）是约束极值点。,3-17 用0.618法求一元函数 在初始区间2，5内，迭代精度 =0.05下的最优解。,解:1） 初始区间为a b=2 5,精度=0.05 2） 计算内分点 x1=a+0.382(b-a)=2+0.382(5-2)=3.146;f1=f(x1)=-30.08 x2=a+0.618(b-a)=2+0.618(5-2)=3.854;f2=f(x2)=-31.69,3）比较f1，f2， f1f2，所以新搜索区间为a b=3.146 5 4）由于b-a=1.854,需要继续迭代； 5）第8次迭代后，新区间为x1 b=3.608 3.648, b-a =0.04 =0.05,迭代终止。,循环迭代历次结果,3-19 用梯度法求函数 的极小值。 =0.01,解 (1)计算梯度： (2)计算函数在点X(0)的梯度及梯度的模：,以单位负梯度为搜索方向,(3)因为 ，不满足精度指标，转入第(4）步； (4)从X(0)出发，沿着方向 S(0)一维搜索， 将 代入目标函数并求其极小值 式中 为单变量的一维函数，令,所以求得一维优化的最优步长 (5)新点 (6)计算目标函数在点 的梯度及梯度的模,第二次迭代：,将 代入目标函数并求极小值,（1）,（2）,（3）,（4）新点,（5）计算目标函数在点 的梯度及梯度的模,由于未满足精度，还应继续进行迭代。,最后得此问题的最优解：,3-19此题没有布置作业，作为两种方法计算的对比 用牛顿法求函数 的极小值。 =0.01(无阻尼牛顿法),解： (1)取初始点 (2)计算牛顿方向,故,(3)极小值,3-21 用可行方向法从 对下面的问题开始一个迭代过程,解： （1）确定起作用约束集合 在可行域内， ，即它是一个内点。,（2）求解,（3）沿方向 进行约束一维搜索,显然，X（1）仍然是一个内点 （4）收敛判断,（5）继续沿负梯度方向进行约束一维搜索,可见，越大，则目标函数值越小。 为此，令,令,求负梯度方向与约束边界的交点,（6）显然，,由于,代入K-T条件, 无解,需要构造线性优化问题,寻找最佳可行下降方向。,(7) 构造线性规划问题(求X(2)点的最佳下降可行方向) min(S)=f(X(2)TS(2)=1,0s1,s2T=s1 s.t. -1si 1 (i=1,2,n) 用单纯形法求解得：S*=-1,s2T ，令S(2)= S*=-1,s2T,(8) 沿方向S(2) 进行一维搜索得：,对 求导，并令其为0，解得： =1/4s2,因为X(3)必须满足约束条件，则只有位于边界上,所以必有,解得：s2=1，此时 =1/4，X(3)=3/4,1/4,显然，,由于,代入K-T条件,解得： =1 ,满足K-T条件 所以X(3)=3/4,1/4，f(X(3)=7/8即为约束问题的优化解。,（9） 收敛判断,用阻尼牛顿法求目标函数极小值：,解：,（1）梯度,（2）一维搜索,（3）收敛判断,最优解,分别用内点和外点惩罚函数法求解下列约束优化问题：,（2）用极值条件求解,解： 外点法 （1）构造惩罚函数,可行域内,极值点（1，0）,可行域内,可行域外