差错控制编码-循环码.ppt

3.1 循环码,一、循环码的特点,循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。,若 （ ） 为一循环码组，则 还是许用码组。,如（7，3）循环码的全部码字,第三章差错控制编码,二、码多项式,为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码,可以将它的码多项式表示为：,对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。表中的第7码字可以表示为：,在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有1+120（模2），1+231（模2），2360（模2）等。因此，若一个整数m可以表示为:,则在模n运算下，有mp（模n），也就是说，在模n运算下，一整数m等于其被n除所得的余数。,如：,在码多项式运算中也有类似的按模运算法则。若一任意多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，也就是：,则可以写为：F(x)R(x)（模N(x)）,这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x4+x2+1除以x3+1的值可得：,这样式也可以表示为：,注意，在上述运算中，由于是模2运算，因此，加法和减法是等价的，在式子中通常用加法运算符，具体模2运算的规则定义如下：,在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用码组，则 在按模 运算下，亦是一个许用码组，也就是假如： （模 ），可以证明 亦是一个许用码组，并且， 正是A(x)代表的码组向左循环移位i次的结果。例如，由式表示的循环码，其码长n7，现给定i3，则：,其对应的码组为0101110，它正是表中第3码字。,结论：一个长度为n的循环码，它必为按模（ ）运算的 一个余式。,三、循环码的生成多项式及其特征,如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x) 的倍式， 则称g(x) （全0码字除外）为生成多项式。循环码中次数最低的多项式（全0码字除外)就是生成多项式。 可以证明生成多项式g(x)具有以下特性：,（1）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式(首一多项式)；,（2）g(x)是 的一个因式；,（3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。,为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，这时，生成矩阵G(x)可以表示成为：,其中：,因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可以确定，进而该循环码的所有码字就可以确定。,显然， （*式）不符合 形式，所以此生成矩阵不是典型形式，不过，可以通过简单的代数变换将它变成典型矩阵。,（*式）,现在以（7，3）循环码为例，来构造它的生成矩阵和生成多项式，这个循环码主要参数为，n7，k3，r4。可以看到，其生成多项式可以用第1码字构造：,在上面的例子中，是（7，3）循环码的所有码字，构造了它的生成多项式和生成矩阵。但在实际循环码设计过程中，通常只给出码长和信息位数，这就需要设计生成多项式和生成矩阵，这时可以利用g(x)所具有基本特性进行设计。,四、监督多项式和监督矩阵,首先，生成多项式g(x)是 的一个因式，其次g(x)是一个r次因式。因此，就可以先对 进行因式分解，找到它的r次因式。下面仍以（7，3）循环码为例进行分析。,第一步：对 进行因式分解得：,第二步：构造生成多项式g（x）,为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从上式中找到r=n-k次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即：,1式,2式,以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组就不同。用1式作为生成多项式产生的循环码为上述表码所列。,当然，在得到生成矩阵G以后，可以通过线性变化，使之成为典型矩阵，同时得到监督矩阵H。除此之外，还可以利用循环码的特点来确定监督矩阵H。 由于（n,k）循环码中g(x)是 的因式，因此可令：,这里h（x）称为监督多项式。与G(x)相对应，监督矩阵表示为：,其中 是 逆多项式,对于前述例子中的（7,3）循环码，,则：,设发送码组A=an-1,an-2,a1,a0，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=bn-1,bn-2,b1,b0，则收发码组之差定义为错误图样E， 也称为误差矢量， 即,其中E=en-1,en-2,e1,e0，且,当bi=ai,当biai,五、循环码的编码,在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从 的因子中选一个（n-k）次多项式作为g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。,令S=BHT，称为伴随式或校正子。,由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样。,若S=0,则为有效码字,为求解B(x)整除g(x)的余式,根据上述原理可以得到一个较简单的系统循环码编码方法：设要产生（n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，则其次数必小于k，而 m(x)的次数必小于n，用 m(x)除以g(x)，可得余数r(x)，r(x)的次数必小于（n-k），将r(x)加到信息位后作监督位，就得到了系统循环码。,（1）用 乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个“0”。例如，信息码为110，它相当于m(x) +x。当n-k7-34时， m（x） ，它相当于1100000。而希望的到得系统循环码多项式应当是 A(x) = m(x) + r(x)。,（2）求r(x)。由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，也就是：,这样就得到了r(x)。,（3）编码输出系统循环码多项式A(x)为：,例如，对于（7，3）循环码，若选用 ，信息码110时，则：,上式相当于：,这时的编码输出为：1100101。,六、循环码编码硬件实现,上述三步编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现，这里的除法电路采用一些移位寄存器和模2加法器来构成。下面将以（7,3）循环码为例，来说明其具体实现过程。,设该（7,3）循环码的生成多项式为：,则构成的系统循环码编码器如图所示，图中有4个移位寄存器，一个双刀双掷开关。当信息位输入时，开关位置接“2”，输入的信息码一方面送到除法器进行运算，一方面直接输出；当信息位全部输出后，开关位置接“1”，这时输出端接到移位寄存器的输出，这时除法的余项，也就是监督位依次输出。当信息码为110时，编码器的工作过程如表：,编码器工作过程,由于数字信号处理器（DSP）和大规模可编程逻辑器件（CPLD和FPGA）的广泛应用，目前已多采用这些先进器件和相应的软件来实现上述编码。,七、 循环码的译码,对于接收端译码的要求通常有两个：检错与纠错。达到检错目的的译码十分简单，通过判断接收到的码组多项式B(x)是否能被生成多项式g(x)整除作为依据。当传输中未发生错误时，也就是接收的码组与发送的码组相同，即A(x)=B(x)，则接收的码组B(x)必能被g(x)整除；若传输中发生了错误，则A(x)B(x)，B(x)不能被g(x)整除。因此，可以根据余项是否为零来判断码组中有无错码。 需要指出的是，有错码的接收码组也有可能被g(x)整除，这时的错码就不能检出了。这种错误被称为不可检错误，不可检错误中的错码数必将超过这种编码的检错能力。,在接收端为纠错而采用的译码方法自然比检错要复杂许多，因此，对纠错码的研究大都集中在译码算法上。校正子与错误图样之间存在某种对应关系。如同其它线性分组码，循环码的译码可以分三步进行：,（1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项式S(x)； （2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)； （3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。,上述第（1）步运算和检错译码类似，也就是求解B(x)整除g(x)的余式，第（3）步也很简单。因此，纠错码译码器的复杂性主要取决于译码过程的第（2）步。,错误图样,伴随式（校正子）,0000000,0000,0000001,0000010,0000100,0001000,0010000,0100000,1000000,1100,1000,0110,1011,0101,0010,0001,错误图样和伴随式是一一对应的。,1100000,0100,?,图中k级缓存器用于存储系统循环码的信息码元，模2加电路用于纠正错误。当校正子为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端为0，输出缓存器的内容；当校正子不为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端在第i位输出为1，它可以使缓存器输出取补，即纠正错误。,基于错误图样识别的译码器称为梅吉特译码器。错误图样识别器是一个具有（n-k）个输入端的逻辑电路，原则上可以采用查表的方法，根据校正子找到错误图样，利用循环码的上述特性可以简化识别电路。梅吉特译码器特别适合于纠正2个以下的随机独立错误。,循环码的译码方法除了梅吉特译码以外，还有捕错译码、大数逻辑译码等方法。捕错译码是梅吉特译码的一种变形，也可以用较简单的组合逻辑电路实现，它特别适合于纠正突发错误、单个随机错误和两个错误的码字。大数逻辑译码也称为门限译码，这种译码方法也很简单，但它只能用于有