Fourie变换的性质.ppt

1.3 Fourier变换的性质,1 线性性质,2 位移性质,3 微分性质,4 积分性质,5* 乘积定理,6* 能量积分,这一讲介绍Fourier变换的几个重要性质，为了叙述方便起见，假定在这些性质中，凡是需要求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的条件，在证明这些性质时，不再重述这些条件。,1. 线性性质,F a f1(t)+b f2(t) =aF1(w)+bF2(w) (1.18),这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线性组合,同样, Fourier逆变换亦具有类似的线性性质, 即,F -1aF1(w)+bF2(w) =a f1(t) +b f2(t) (1.19),的Fourier变换等于各函数Fourier变换的线性组合。,设F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a, b是常数,则,2. 位移性质,证 由Fourier变换的定义, 可知,它表明时间函数 f (t) 沿 t 轴向左或向右位移 t0的 Fourier 变换等于 f ( t ) 的 Fourier 变换乘以因子 或,同样，Fourier逆变换亦具有类似的位移性质，即,它表明频谱函数 F () 沿轴向左或向右位移0的,Fourier逆变换等于原来的函数 f (t) 乘以因子 或,例 求函数,解：单个矩形脉冲的频谱函数为:,的频谱函数,例1 求矩形单脉冲 的频谱函数。,解 根据 Fourier 变换的定义，有,若根据矩形单脉冲,的频谱函数,利用位移性质，就可以很方便地得到上述 。因为 可以由 在时间轴上向右平移 得到，所以,且,两种解法的结果一致。,3 微分性质,它表明一个函数的导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以因了 jw 。,如果 f (t) 在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当 |t|+ 时, f (t) 0, 则,证 由Fourier变换的定义, 并利用分部积分可得,如果 f (k)(t) 在(-, +)上连续或只有有限个可去,同样，还能得到象函数的导数公式。设,则,推论, 则有,间断点，且当,一般地，有,在实际中，常常用象函数的导数公式来计算,及 。,解 根据前面例题的结果知,例2 已知函数 ，试求,利用象函数的导数公式，有,解 因为,例 利用Fourier变换的性质求,的Fourier变换.,又因为,，按位移性质可知,，按象函数的位移性质,，可知,解 由,例 利用Fourier变换的性质求,的Fourier变换.,，按象函数的微分性质,可知,，利用Fourier变换的性质求,解 (1) 由线性性质及象函数的微分性质有，,例 若,下列函数 g( t )的Fourier变换:,，利用Fourier变换的性质求,解 (2) 由微分性质有，,例 若,下列函数 g( t )的Fourier变换:,再由象函数的微分性质，有,4. 积分性质,如果当 时， ，,则,证,因为,又根据上述微分性质：,所以,4. 积分性质,如果当 时， ，,证,故,则,它表明一个函数积分后的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换除以因子 jw 。 运用Fourier变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）转化为代数方程, 通过解代数方程