数值分析课程课件,内容自己看.ppt

4.6.2 差商及牛顿基本插值公式：(节点非等距分布),差商概念：割线法中曾涉及到：,设 在互异点 的值分别为,则 关于点 的一阶差商为：,关于点,的一阶差商为：,关于点,的二阶差商为:,一般的,记 的关于,的m阶差商为,对k阶差商，有以下性质,(1) 函数f(x)的k阶差商,可由函数值,线性组合得到,且有：,可用数学归纳法证.,特殊地, 称为0阶差商.,现假设k=l - 1时结论成立, 即有,于是,当k=0时, 左边=,右边=,此时结论正确.,所以对l 时也成立. 由归纳法知，该性质成立.,可利用该性质简化计算差值商:,例如 已知f(x0)、 f(x1)、f(x2), 则,另外，改变节点顺序，不影响差商值。, k阶商与k 阶导数直接关系,证明略.（同插值余项证明类似）,若节点等距分布, 差商与差分关系：,其中h为步长，为向前差分，为向后差分.,利用差商构造牛顿基本插值公式 （与牛顿向前插值公式类似）：,由 可得,由 可得: 即为,（0阶差商）,通过n+1个非等距分布节点的n次插值公式为：,余项公式：,由 可得:,即,类似地, 可得:, 也可写成：,可利用差商定义,把后一式代入到前一式，可得：,可得到Rn(x)的计算公式.,具体使用考虑误差时，可先使用牛顿插值公式求出 f(x)，再使用该差商公式计算,或 直接由 近似表示.,例：使用牛顿基本插值公式，计算前面例子中的,构造差商表：,x,一阶差商 二阶差商,100 10,121 11,144 12,=10，,=0.047619，,=-0.000094,使用线性插值：,使用抛物线插值：,特点: 使用抛物线插值计算时，可利用线性插值 结果，不必重新计算,作业：已知数据表试求f(x)的2次牛顿插值多项式 及f(0)的近似值,4.7 高次插值缺点和分段插值,适当提高插值多项式次数（增加节点处），有可能提高计算结果的精确度.,这是因为：,与f(x)高阶导数有关, 即要求高阶导数存在，且具有一定的界.,举例：区间-1,1上的函数,当k=10时，构造的拉格朗日插值, 如下图:,前面的例子可看出：,但不能得出结论：插值多项式次数越高越好 .,发现局部区域精确较高， 其他区域误差较大。,可采用分段低次插值方法构 造将插值区间分成若干个小区 间，在每个小区间上低次插值.,4.7.1 分段线性插值,，在,区间内做线性插值，,(使用拉格朗日插值方法构造),拟合曲线光顺性差。,对两个相邻节点,4.3.3 分段二次插值(抛物线插值),对三个相邻节点,，在 区间内做二次插值，,当插值节点个数n为偶数时，,当n为奇数时:,其中 为其节点,的抛物线插值.,采用分段插值时，需保证节点处具有一定的几何连续性， 通常要求具有一定的二阶导数连续(曲率相关)，这里称为 样条Spline函数。,要求二阶导数连续 通常使用三次多项式构造样条插值函数.,4.8.1 三次样条插值函数,问题：给定函数表f(x),其中,，若函数S(x)满足：,4.8 样条插值函数, S(x)在每个子区间,（i=1,2,n）,在a,b上连续, 满足,（i=0,1,2,n）,则称S(x)为函数f(x)关于节点,的三次样条插值函数.,可使用,表示在第i个子区间,上的表达式:,其中, （j=0,1,2,3）为待定系数,所以共需确定4n个系数即可.,上是不高于3次的多项式,由条件和可得：,（左函数=右函数）,（左右函数一阶导数相等）,（左右函数二阶导数相等）,共有4n-2个方程 求解4n个未知数。,还缺2个条件，还须给出2个附加条件.,通常给出区间端点处的边界条件，常用边界条件有：, 给定一阶导数值, 或给定二阶导数值，,4.8.2 三次样条插值函数求解,用上面的4n个方程求解4n个未知数，计算量大， 可使用下面的三对角方程组求解。,设有节点 处s(x)的二阶导数为: （边界条件也满足二阶导数值）,是不高于3次的多项式,在每个区间内是关于x的线性函数或常数，,由拉格朗日插值可表示为:,xxi-1,xi,记 hi= xi- xi-1 ，则有：,可连续两次积分得：,其中Ai、Bi为积分常数，可利用插值条件,求得：,将Ai、Bi代入,中，并化简(利用 )得：,（xxi-1,xi, i=1，n）,在中，只要求出Mi(i=1，n)，则可得到,为求Mi，再利用一阶导数连续性质,( xi处左导数=右导数),即,（当xxi, xi+1）,（当xxi-1,xi）,对求导数得：,(xxi-1, xi时),在中令x=xi 可得,对式，再将i改成i+1得：,上式中令x=xi得：,可得方程：,(xxi, xi+1时),方程两边整理（同乘上,）得：,（i=1，2，n-1）,记,（差商形式）,可得:,（i=1，2，n-1）,即,n+1个未知数求解，有n-1个方程,再利用已知边界条件（二阶导数）：,式即为：,三对角方程组，使用追赶法