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第一章数与式 (二) 整式,字母代替数,数,式,数与式 (二),使用字母的意识和能力,是学好初中代数的关键之一.,扑克牌游戏 小明背对小亮让小亮按下列四个步骤操作: 第一步:分发左中右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各 堆牌的张数相同; 第二步:从左边一堆中拿出两张,放入中间一堆; 第三步:从右边一堆中拿出一张,放入中间一堆; 第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放 入左边一堆. 这时,小明能准确地说出中间一堆牌现有的张数,你能知道中间一堆牌的张数吗?,解:设第一步操作后每堆x张;则第二步操作后三堆依次为x-2,x+2,x;第三步操作后三堆依次为x-2,x+3,x-1;第四步操作后三堆依次为2(x-2),(x+3)-(x-2),x-1. 所以最后中间一堆的张数为5,式,关于代数式的学习,我们先后研究了整式 (包括单项式和多项式) 、分式、根式等. 我们要理解它们的概念、性质,熟练掌握它们的运算方法.,一 代数式的概念,11 下列说法是否正确？ （1） 含有字母的式子是代数式； （2） 用运算符号把数和表示数的字母连接 而成的式子是代数式； （3） 一个实数也是代数式； (4) 因为 ，所以 是单项式； (5) 是单项式； (6) 是分式. ( ),X,X,X,X,一 代数式的概念,12 填空 (1) 单项式 的次数是_次,系数是_; 多项式 是_次_项式; （2）写出一个含有字母x,y且系数为1的五 次单项式：_; （3）写出一个含有字母x 的整系数二次三项 式：_. (4) 如果 与 是同类项, 则, , ,如2 -X-3,1,5,-1,五,三,一 代数式的概念,1.3 选择题 (1) 下列各组根式中,是同类二次根式的是 ( ) (A) 和 ; (B) 和 ; (C) 和 ; (D) 和 ; (2)下列各组根式中,是互为有理化因式的是( ) (A) 与 ; (B) 与 ; (C) 与 ; (D) 与 ; (3) 已知b0,把 化为最简二次根式得 ( ) (A) (B) (C) (D),A,B,C,A,C,B,一 代数式的概念,1.4 列代数式: (1) 张老伯从报社以每份0.4元的价格买进m份报纸,以每份0.5 元的价格卖出n份报纸(nm),剩余的报纸以每份0.2元的价 格退回报社,则张老伯卖报的收入为:_ 元. (2) 如图,为了做一个试管架,在a cm长 的木条上钻了4个圆孔, 每个的直径 为2cm,则相邻两孔之间的距离x等于 _cm. (3)随着通讯市场竞争日益激烈,某通讯公司的手机市话收费标准 按原标准每分钟降低了 a 元后,再次下调25%,现在的收费为每 分钟 b 元,则原收费标准是每分钟_元,(0.3n0.2m),二 代数式的运算或恒等变形,2.1 下列运算正确的是： (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) ;,X,X,X,X,X,X,二 代数式的运算或恒等变形,代数式的运算在许多时候是一种恒等变形. 在恒等变形过程中,乘法公式起着重要作用.,二 代数式的运算或恒等变形,2.2 下列运算是否正确?若不正确,试改正. (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;,( ),( ),( ),( ),( ),二 代数式的运算或恒等变形,2.3 计算: (1) (2) (3) (4) (5),+4ab+4,-2 n+,9 -,-2x-15,二 代数式的运算或恒等变形,因式分解是一种重要的恒等变形. 因式分解与整式乘法是互逆变形.,整式的积的形式,多项式,二 代数式的运算或恒等变形,2.4 因式分解: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7),X(x-3)(x+3),因式分解的基本思路方法 1. 首先整理.如降幂排列等. 2. 提取公因式.包括提取一个负号或一个系数. 3. 看结构特点.首先看是几项,其次看次数. 如果是两项,常考虑能否用平方差公式; 如果是三项,常考虑能否用完全平方公式或者 十字相乘法,还不行的话,就考虑用 一元二次方 程的求根公式; 如果是四项,常考虑如何分组. 若分为“3+1”, 一般先用完全平方公式,再用平方 差公式; 若分为“2+2”, 最后一步肯定是提取公因式; 4. 考虑是否分解彻底,注意及时验证.,二 代数式的运算或恒等变形,2.5 填空: (1) 要使二次三项式 在整系数范围内能进行分解因式,那么整数 k 可以取(有几个写几个)_. (2) 要使二次三项式 在整系数范围内能进行分解因式,那么整数 p 可以取(写出两个不同的可能值)_.,5,-5,7,-7,-3,-8,二 代数式的运算或恒等变形,2.6 计算: (1) (2) (3),3.解原式=,三 代数式的值,3.1 先化简,再求值. : ,其中 ,其中,三 代数式的值,3.2 请先化简下列式子,再选取两个你喜欢的且使原式有意义的数,带入化简后的式子中求值.,三 代数式的值,求代数式的值的基本思路方法是: 化简,代入 有些时候需要考虑代入的时机,和代入的方式.,三 代数式的值,3.3 解答下列各题 (1)已知 x-y=3，求 2-x+y 的值。 (2)已知 x+y=3，求 的值。 (3)已知 x+y=-3，xy=1,求下列各式的值; () ； () ；,解:2-x+y=2-(x-y)=2-3=-1,解:,三 代数式的值,（4）若 求 的值； （5）若 ab0,且 求 的值。,三 代数式的综合应用,3.4 请先阅读下列 一段文字,然后解答问题. 初中数学课本中有这样一段叙述:“要比较a和b的大小可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零.” 问题:甲、乙两人分两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价分别为x元/千克、y元/千克,xy),甲每次购买粮食100千克,乙每次购粮用去100元. (1) 用含有x,y的代数式表示:甲两次购买粮食共需付粮_ 元;乙两次购买粮食_千克;若记甲两次购粮的平均价格为每千克 P 元,乙两次购粮的平均价格为每千克 Q 元,则 P =_; Q =_. (2) 若规定:谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式更合算.请你判断甲、乙 两人的购粮方式哪一个更合算?并说明理由.,解: 因为 又,三 代数式的综合应用,3.5 （1）在2004年6月的日历中（如图1），任意圈出一竖列上相 邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这个（从小到大）分别是 。 （2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数。（如图2） （i）图2中框出的这16个数的和是 。 （i） 图2中要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。,(图1),(图2),解答（1）a7，a，a+7。 （2）经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心 对称的数字之和都等于44，于是容易算出这16个数字之和是448=352。 设框出的16个数中的最小的一个数为a，则这16个数组成的正方形框如下表所示 因为方框里的每两个关于中心对称的数字之和都等于2a+24，所以这16个数字之和是（2a+24）8=16a+192。 当16a+192=2000时，a=113。 当16a+192=2004时，a=11325（不合题意）。 因此框出的16个数之和不可能等于2004。 由长方形阵列的排法可知，a只可能在1，2，3，4列，即a除以7的余数只可能是1，2，3，4。 因为113=167+1，所以这16个数字之和等于2000是可能的，这时，方框中的最小数是113，最大数是137。,小结,本节课我们一起回顾了代数式的有关概念、性质、及其运算. 字母的出现、字母代替数是从小学算术过度到初中代数的一个重要标志.使用字母的意识和能力,是学好初中代数的关键. 幂运算法则、乘法公式、因式分解、根式的有关概念等是这部分的重点和难点. 通过复习我们就是要不断的找出知识上的盲点,并予以矫正. 增进我们的理解,完善我们的知识.,课后练习,1. 选择题 （1）下列各运算中，结果正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）下列各等式中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （3）下列各式中不正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）,（4）算式 可化为（ ） （A） （B） （C） （D） （5）下列代数式中，是一次式的有（ ） （A） （B） （C） （D） （6）如果 是一个完全平方式，则 m 的值可以是（ ） （A）4 （B） 2 （C）-4 （D） -2,2. 填空 （1）若 a 的值使得 成立，则 a 的值为： （2）分解因式 （3）当 时，分式 的值为零。 （4）如果 的值为7，那么代数式 的值等于 （5）已知 且 xy, 则 x-y 的值等于,（6）若 则 （7）若 可以分解成两个整系数的一次因式的乘积,则a整数可以取_. （8）分解因式: （9）观察下列各式: 请把你发现的规律用含有的代数式表示出