2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点. 振荡间断点.解：，所以是函数的可去间断点（2）设连续且可导，则，则（ ） 解：选A分析；用极坐标得（3）设则函数在原点偏导数存在的情况是( ) 解：C ，故，所以偏导数不存在。所以偏导数存在。故选C（4）曲线段方程为函数在区间上有连续导数则定积分（ ）曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.解： 其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解：分析：，故均可逆。（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）. . 解：则。记，则则正、负惯性指数相同，故选（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . 解：（8）随机变量，且相关系数，则（ ） . 解：选D. 用排除法设，由，知道正相关，得，排除（A）（C）由，得排除（C） 故选择（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 . 解：1由（10）函数，求积分 .解：所以（11）.其中解：（12）微分方程求方程的特解.解：由所以，又，所以.（13）设3阶矩阵的特征值1，2，2， .解：的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得，因，则（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.解：因为 ，所以 ，X 服从参数为1的泊松分布，所以 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限.解： (16) （本题满分10分） 设（是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时），求（2）记，求.解：(17) （本题满分10分）是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有（2）证明是周期为2的周期函数解：解：（1）对于，令，则因为的周期为2，所以所以（2）因为所以所以所以是周期为2的周期函数(18) （本题满分10分）求二重积分其中解：(19) （本题满分10分）已知连续复利为0.05，现存入a万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，第n年取出10+9n万元，问a至少为多少时，可以一直取下去？解：由题得设两边求积分由，对上式两边求导令，则所以至少应为3795. (20) （本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解（3）为何值，方程组有无穷多解解：方程组有唯一解由，知，又，故。记，由克莱姆法则知，方程组有无穷多解由，有，则故的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。又，故可取特解为所以的通解为为任意常数。（21）（本题满分11分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求.解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）又，整理得：则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.故：线性无关.（2）记则可逆，即：.（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度解：1.2. 当时，当时，当时， 当时，当时，当时，所以 ，则（23） （本题满分11分）是总体为