2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题分析及答案

2007年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是(A). (B) (C) . (D) . 【分析】 因此选（） （）设函数在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若存在，则(B) 若存在，则 (C) 若存在，则存在若存在，则存在. 【分析】 设，则存在，但不存在因此（D）是错误的。选（D）。 （3）如图,连续函数在区间3, 2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设，则下列结论正确的是（A） (B) (C) (D) 【分析】注意，大、小半圆的面积分别为与。按定积分的几何意义知，当时，当时。 因为为奇函数为偶函数。 因此 选（C）（）设函数连续,则二次积分等于(A) (B) (C) . (D) 【分析】 这是交换积分顺序的问题。先将二次积分表成由累次积分限确定区域D如图所示。记的反函数是，则改换积分顺序得由此知（C），（D）不正确现在的关键是求出的反函数：因此. 选（B） (5) 设某商品的需求函数，其中Q，p分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 1. (B) 20. (C) 30. (D) 40.【分析】 按需求弹性的定义可得令 即=1可解出.故选(D)（6）曲线渐进线的条数为 (A) . (B) . (C) . (D) .【分析】 只有间断点由于故为垂直渐进线.又 故时有水平渐进线又 故时有渐进线因此选(D).（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C) . (D) . 【分析】因为所以向量组线性相关，故选（），至于（）、（）、（）的线性相关性可以用的方法来处理。例如由于，故知线性相关。 （8）设矩阵则与(A) 合同，且相似 (B)合同但不相似 (C)不和同，但相似. (D)既不合同，也不相似【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见和肯定不相似。由此可以排除（）与（）。而合同的充分有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由，矩阵的特征值为，3，0。故二次型的正惯性指数，负惯性指数，而二次型的正惯性指数也为，负惯性指数，所以A、B合同。故应选（B）。（9）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p（，则此人第次射击恰好第次命中的概率为(A) (B) (C) . (D) .【分析】 设事件A=“第4次射击恰好第2次命中目标”，则A表示共射击4次，其中前3次只有1次击中目标，且4次击中目标，因此应选（C）。（10）设随机变量（，）服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度为(A) (B) (C) . (D).【分析】 由于服从二维正态分布，因此从与不相关可知与相互独立，于是有应选（A）若仔细分析，由于X与Y不相关，即，因此的联合密度为而X，Y的边缘密度分别为，。也可知选（A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（11） 【分析】 注意且由洛必达法则知于是即 .又因利用无穷小量有有界变量的乘积是无穷小量可得（12）设函数，则 【分析】 用归纳法求解.易归纳证得因此（13）设是二元可微函数,则 【分析】 由多元复合函数求导法则得（14） 微分方程满足的特解为 【分析】 本题是求齐次微分方程的特解问题.令于是代入原方程可化为两端求积分得即在通解中令 可确定常数 于是所求特解为整理得（15）设矩阵，则的秩为【分析】因为可以知秩（16）在区间（，）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 【分析】这是一个几何型概率的计算题。设所取的两个数分别为和，则以为横坐标以纵坐标的点随机地落在边长为的正方形内（如图所示），设事件表示“所取两数之差的绝对值小于”，则样本空间事件的样本点集合为区域中所有的点，而区域的面积，区域的面积因此。三 、解答题：1724小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。 （17）（本题满分11分） 设函数由方程确定，试判断曲线在点,（1，1）附近的凹凸性。【分析】所求的隐函数满足方程与条件由方程知具有二阶连续的导数,从而要判断在点（1，1）附近的凹凸性,只需求出.【解】将方程看成关于的恒等式,两端对求导数得整理得, 在式中令,可得将式两端再对求导数,得在上式中令即得0 由的连续性知存在的一个领域,在此领域中即曲线在点（1，1）附近是凸弧.(18) （本题满分10分） 设二元函数计算二重积分,其中.【分析与求解解】 D如图（1）所示,它关于轴对称,又对均为偶函数其中是D的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将分成(如图(2): ，且于是 而 因此 (19) （本题满分11分） 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:（）存在，使得；（）存在,使得.【分析与证明】下，要证存在已知只须由题设再证（）由题设若取若不妨设则（）由对分别在用罗尔定理使得再对用罗尔定理使得即 (20) （本题满分10分）将函数展开成的幂函数，并指出其收敛区间。.【解】 首先将函数作换元即,得再将上式右端分解为利用已知的幂级数展开式可得把它们代入(*)式可得当时,即时,有展开式的收敛区间是,即(21) （本题满分11分） 设线性方程组与方程有公共的解,求的值及所有的公共解【解】 将与联立，加减消元有如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解。如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解 (22) （本题满分11分）设三阶实对称矩阵A的特征值是A的属于 的一个特征向量.记,其中E为3阶单位矩阵.() 验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;() 求矩阵B.【解】 （）由知那么所以是矩阵B属于特征值的特征向量。类似地，若有因此，矩阵B的特征值为由A是对称矩阵知矩阵B也是对称矩阵，设矩阵B属于特征值的特征向量，那么所以矩阵B属于特征值的线性无关的特征向量是因而，矩阵B属于特征值的特征向量是其中是不为0的任意常数。 矩阵B属于特征值的特征向量是，其中是不全为0的任意常数。（）由有那么(23) （本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为() 求;() 求的概率密度【解】 （）（）如果已知的联合概率密度为，则的概率密度可以直接用卷积公式求解。由于被积函数只有在即时不为0，此时被积函数当时，如图当时于是Z的概率密度为(24)（本题满分11分） 设总体X的概率密度为其中参数未知.是来自总体X的简单随机样本,是样本均值.() 求参数的矩估计量